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1、1第六章 平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程 平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。 这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章
2、的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。本章学习的困难是应力函数的确定。虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面 问题基本方程；4、 应力函数的性 质；5、典型平面问题的求解。6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解 难度。2平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小
3、和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。 这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程； 4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承 载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型 实例就是水坝，如 图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端
4、受固定约束。这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。设纵向轴为 z 轴，则沿 z 方向的位移恒等于零，位移只能 发生在 Oxy 面内。而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的 x、y 坐标，则有相同的位移。所以物体的位移为 2、基本物理量3根据几何方程平面应变问题的应变分量 x，y，xy 均为坐标 x,y 的函数，而其余应变分量 z = xz= yz = 0。由于这类问题的位移和应变都是发生在 Oxy 平面内的，所以称为平面应变问题。根据物理方程可得所以回代可得
5、平面应变问题的物理方程4其中因此，平面应变问题只有应力 x，y，z = (x+y)和 xy 不等于零，而且 这些应力均为 x，y 的函数，与坐标 z 无关。3、基本方程据上述的分析，可以将弹性力学的基本方程在平面应变问题中大为简化。平衡微分方程将简化为两个几何方程简化为三个变形协调方程5由六个简化为一个面力边界条件也简化为两个4、应力表示的变形协调方程应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。变 形协调方程是应变 分量表达的， 对于应力解法，需要用基本未知量
6、应力分量来描述变形协调方程。将物理方程代入变形协调方程，可得在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对 x，y 求偏导数后相加，可得6回代到变形协调方程，并作整理可得以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维 （Lvy，M.）方程。6.2 平面应力问题学习思路:平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为 h 远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面 Oxy 面内，并沿厚度方向 Oz 不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。平面应力问题与平面应变问
7、题在应力解法条件下，有类似的基本方程。学习要点：1、平面应力问题；2、基本物理量与本构方程； 3、基本方程与边界条件1、平面应力问题平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示薄壁厚度为 h 远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面 Oxy 面内，并沿厚度方向 Oz 不变。而且薄板的7两个表面不受外力作用。根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随 z 改变。根据 边界条件可得而其余应力分量为坐标 x, y 的函数，即由于
8、应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。2、基本物理量与本构方程根据物理方程的第三式可得与平面应变问题相比较，这里 z0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。但是由于平板很薄，这种畸 变也是很小的。因此平面应力问题的物理方程为因此在平面应力问题中，只有应变 存在，而且这些应变均为坐标 x，y 的函数，与 z 无关。3、基本方程与边界条件根据与平面应变问题相同的分析，平面应力问题的基本方程也可以作相应的简化。平衡、几何、变形协调 方程以及面力边界条件均简化为与平面应变问题相8同的形式，其简化形式分别为平衡微分方程几何方程变形协调方程边界条件6.3 平面问题的应力函数解法学习思路:本节讨
9、论平面问题的应力函数解法。考察平面问题的弹性力学基本方程平衡微分方程和应力表示的变形协调方程，在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。这样问题的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。将应力函数代入基本方程，可以得到由应力函数表达的基本方程双调和方程。因此弹性力学平面问题 的求解转化为确定应力函数双调和函数。学习要点：1、平面问题的基本方程；2、 应力分量与应力函数；3、 应力函数与双调和方程1、平面问题的基本方程如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基9本方程归结为在给定的边界条件下求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程 。对于平衡微分方程的解，可以分解
10、为其齐次方程的通解与任一特解之和。齐次方程就是体力为零的平衡微分方程显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列 应力分量均为齐次方程的特解，或者2、应力分量与应力函数根据微分方程理论，必有函数 f（x，y），令则齐次方程的第一式恒满足。同理必有函数 g（x，y），如果则齐次方程的第二式恒满足，所以引入任意函数 (x，y)，使得10将上式分别回代，可得应力分量表达式上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续 可导的， 总是满足齐次微分方程的。3、应力函数与双调和方程将平衡微分方程特解代入应力表达式，则自然满足平衡微分方程。应力分量不仅需要满足平衡微
11、分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得上式说明函数 (x，y）应满足双调和方程。根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。综上所述，弹性力学平面问题的应力解法，包括平面应力和平面应变问题，归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。这里，函数 (x，y)称为艾里（Airy）应力函数，一般简称为应力函数。6.4 平面应力问题的近似性学习思路:对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。
12、但是问题的 z 方向应力和位移不同。应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题 却是部分满足的。 问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。11对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。学习要点：1、平面应变与平面应力问题；2、平面 应力问题与基本方程；3、平面应力问题的误差1、平面应变与平面应力问题对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。因此，它们的应力分量 x，y 和 xy 也相同， 应力分
13、量 xz 和 yz 均等于零， 所不同的是 z 向应力分量 z，应变 z 和位移分量 w。下表列出了两种平面问题的主要差别平面应变问题 平面应力问题z 向应力分量 z =(x + y ) z 0z 向位移分量 w0 w0正应变分量上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于 z 向应变，位移和正应力的计算公式。2、平面应力问题与基本方程虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于 z 向 应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题
14、， 变形协调方程12除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求这要求 z 为 x，y 的线性函数，因此 z = ax+by+c，但平面应力问题又要求，这要求 x+y满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。 这 将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的3、平面应力问题的误差由于平面应力问题 z0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题， z 很小，可以认为 z 近似为零。 这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将 讨论其误差。假如重新假定应
15、力分量 x，y，xy 是 x，y，z 的函数，应力分量 z，xz 和 yz 仍然等于零，则可以选取新的 应力函数求解平面应力问题。如果上式中函数 (x，y）为 双调和函数，则应力函数(x，y，z)完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。显然，新的应力函数 (x，y，z)与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在13于补充项 的影响。根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补 充项含有 z 的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个 z 的平方项。对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不 计。6.5 应力函数的物理意义及边界条件表示学习
16、思路:边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。分析表明：边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对 x，y 的一阶偏导数分别等于作用力合力在 x 轴和 y 轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，它能 够帮助我 们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。学习要点：1、应力函数与面力边界条件；2、 应力函数的偏导数与边界条件；3、应力函数与边界条件；
