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1、NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 2001 年考研数学二试题分析 年考研数学二试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、填空题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) （1） 2 1 31 lim 2 x xx xx + = + 答答 应填 2 . 6 分析分析 解法 1 解法 1 2 1 31 lim 2 x xx xx + + () ()() () 2 1 1 2 1 lim 231 12 lim. 622 x x x xx
2、xx x = + + = + 解法解法 2 原式 1 11 2 32 1 lim 21 x xx x = + 0 1112 lim. 6631 x xx =+= + （2）设函数( )() 2 cos1 xy yf xexye + = 由方程所确定，则曲线( )yf x=在点 ()0,1处的法线方程为 答答 应填 220.xy+= 分析分析 解解 对方程() 2 cos1 xy exye + = 两边同时对x求导得 () 2 2sin0, xy dydy exyyx dxdx += 将0,1xy=代入解得 0 1 2, x y dy dx = = = 故所求的法线方程为220.xy+= NBF
3、 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 （3）() 3222 2 sincosxxxdx += 答答 应填 8 分析分析 这是对称区间上的定积分，一般都可利用积分性质而化简计算，所以 () 3222222 0 2 sincos2sincosxxxdxxxdx += () 242 0 2sinsin 3 2. 44 2 28 xx dx = = （4）过点 1 ,0 2 且满足关系式 2 arcsin1 1 y yx x += 的曲线方程为 答答 应填 1 arcsin. 2 yxx= 分析分析 题目中把 2 arcsin1 1
4、y yx x += 称为“关系式”而不是方程，就是提醒 考生还有更方便的解法，事实上，等式的左端等于() arcsin,yx关系式变成 () arcsin1yx =，两边积分得 arcsin,yxxC=+ 再以 11 0. 22 yC = 代入得 （5）设方程 1 2 3 111 111 112 ax ax ax = 有无穷多个解，则a= 答答 应填 -2 分析分析 利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩， 且使其秩小于3的方法确定a的 值。 111111 111111 112222 0 aa aa aaaa ? ? ? + 故当2a =时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于2，从而原方程有无穷多 个
5、解。 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 二、选择题二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分) （1）设( ) 11, 0,1, x f x x = ， 则( ) ff f x 等于 （A）0 （B）1 （C） 11, 0,1, x x ， （D） 1, 1,1, x x 0， 答答 应选 B 分析分析 由于( )( )1,1,f xf f x = 故因而 ( ) 1ff f x = （2）设当0x时，()() 2 1cosln 1xx+是比sin n xx高阶的无穷小，而sin n xx是 比( ) 2 1
6、x e高阶的无穷小，则正整数n等于 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答 应选B 分析 这是无穷小比较的题，把题中的每个无穷小都用其等价无穷小代替，便 可得到正确的答案，事实上当0x时，()() 24 1 1cosln 1, 2 xxx+ 1 sin, nn xxx + 2 2 1, x ex故应选n=2. （3）曲线() () 22 13yxx=的拐点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答答 应选 C 分析分析 本题的曲线是对称于直线2x=的，所以，它或者没有拐点或者只有 2 个 拐点，因此 B、D 排除，又 ()()() 4123 ,yxxx= 对导函数 y应用罗尔中值定
7、理， y有两个零点，从而知原曲线有两个拐点。也可 直接求函数的二阶导数的零点，再判断在零点左右附近的二阶导数是否变号。 （4）已知函数( )f x在区间()1,1+内具有二阶导数，( ) fx严格单调减少， 且( )( ) 111,ff=则 （A）在()()1,11,1+和内均有( )f xx （C）在()1,1内，( )f xx NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 （D）在()1,1内，( )f xx，在()1,1+内，( )f xx部分( ) fx有两个零点，在较小的零点左侧，( )yf x=单调增加，因此 ( )
8、 0fx 。由此可知( )B应排除。因此本题选( )D。 三、三、（本题满分 6 分） NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 求 () 22 . 211 dx xx+ 分析分析 这是一道常规的不定积分题，用换元法解即可。 解解 设 2 tan ,sec.xu dxudu= 原式 () 22 2 cos 2sincoscos2tan1 duudu uuuu = + () 2 2 sin 1sin arctan sin arctan 1 du u uC x C x = + =+ =+ + 四、四、（本题满分6分） 求极限 s
9、insin sin lim, sin x tx tx t x 记此极限为( )f x，求函数( )f x的间断点并指出其类型。 解解 因( ) sin limln sinsinsin , tx xt txx f xe = 而由洛必达法则得， cos sin sin limlnlim, sinsinsincossin txtx t xtx t x txxtx = 故 ( ) sin , x x f xe=由此表达式知()01,2,xxkk?= 及都是( )f x的间 断点。 由于( ) sin 00 limlim, x x xx f xee = 所以( )0xf x= 是的可去（或第一类）间断点
10、；而()1,2,xkk?= 均为 第二类（或无穷）间断点。 五五、（本题满分8分） 设 ( )x=是抛物线yx=上任一点()(),1M x yx处的曲率半径，( )ss x=是 该抛物线上介于点()1,1AM与之间的弧长，计算 2 2 2 3 dd dsds 的值。 （在直角坐 标系下曲率公式为 () 3 2 2 1 y k y = + ） NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 分析分析 曲率半径( )x与弧长( )s xx都是的函数，所以求 2 2 dd dsds 与即参数方程 求导。 解解 3 11 ,. 2 4 y
11、y x x = 所以抛物线在点(),M x y处的曲率半径 ( ) () () 3 2 2 3 2 1 11 41; 2 y xx ky + =+ 抛物线上AM的弧长 ( ) 2 11 1 11. 4 xx ss xy dxdx x =+=+ 由参数方程求导公式得 () 1 2 1 2 414 2 3 6, 1 1 4 d x d dx x ds ds dx x + = + 2 2 1616 , 2141 1 4 ddd ds dsdx dsxx dx x = + + 从而 () 2 2 3 2 2 36 41369 241 dd xx dsdsx =+= + 3 六、六、（本题满分7分） 设
12、函数( )f x在)0 +，上可导，( )00f=，且其反函数为( ),g x若 ( ) ( ) ( ) 2 0 ,. f x x g t dtx ef x= 求 分析分析 等式两边求导，利用( )g f xx = 便可解得( )f x 解解 等式两边对x求导得 ( )( ) 2 2. xx g f xfxxex e =+ 而( )g f xx = ，故 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 ( ) 2 2. xx xfxxex e=+ 当0x时，( ) 2, xx fxexe=+ 积分得 ( )()1. x f xxe
13、C=+ 由于( )f x在0x=处右连续，故由 ( )( )() 00 00limlim1, x xx ff xxeC + =+ 得( )()1,11. x Cf xxe=+因此 七、七、（本题满分7分） 设函数( )( ),f xg x满足( )( )( )( )( )( ) ,2,00,02, x fxg xgxef xfg=且 求 ( )( ) () 2 0 . 1 1 g xf x dx x x + + 分析分析 本题实质是分两部分：求( )f x；计算所求积分，第一部分是解微分方程； 第二部分求积分2，先利用题设条件进行运算，最后再代入( )f x的式子得解。 解法解法1 由( )( )( )( )( ) 2, x fxg xfxgxef x=得 于是有 ( )( ) ( ) ( ) 2, 00, 02, x fxf xe f f += = = 解之得 ( )sincos, x f xxxe=+ 又 ( )( ) () 2 0 1 1 g xf x dx x x + + ( )()( ) () ( )()( ) () ( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 00 0 1 1 1 1 1 1 0. 111 g xxf x dx x fxxf xf x dxd x x f xfe f x + = + + = + + + = +
