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1、第3单元 平面力系,2,3. 1 平面汇交力系,3.2 力矩、合力矩定理,3. 3 力偶及其基本性质,返回,4,3. 4 平面力偶系的合成与平衡,3. 5 平面任意力系,3. 1平面汇交力系,在工程实际中，有不少平面汇交力系的实例。起重机起吊重物时如图3一3 (a)所示，作用于吊钩C的力有:钢绳拉力F3,绳AC和BC的拉力F1及F2，如图3 -3(b)所示，它们都在同一铅垂平面内并汇交于C点，组成一平面汇交力系。图3 -4 (b)为图3 -4(a)所示的屋架的一部分，其中各杆所受的力F1, F2, F3, F4在同一平面内并汇交于一点，也组成一平面汇交力系。 图3 -5为汽车制动机构的一部分。
2、司机踩到制动蹬上且平衡时，A点受到外力P, B点受水平拉力T, D点受约束反力N的作用。以上三力的作用线都在竖直平面内且汇交于中心O点，此力系也是平面汇交力系。 本节主要讲述用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题。几何法直观明了，物理意义明确;解析法计算规范、程式化，适合计算机编程。,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,3.1.1平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1.平面汇交力系合成的几何法:力的多边形法则 设刚体上作用一个平面汇交力系F1、 F2、F3、 F4，各力的作用线汇交于A点图3 -6 (a)，由力的可传性，将这些力沿其作用线移到A点，得到一个平面汇交力系。其合力F
3、R;可通过连续使用力的三角形法则求得。如图3 -6(b)所示，先作F1与F2的合力，再将FR1与F3合成为力FR2;依此类推，最后求出FR2与F4的合力FR。力FR即为该汇交力系的合力，可用矢量式表示为,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,由图3 -6(b)可见，求合力FR时，只需将各力首尾相接，形成一条折线，最后连接封闭边，从F1的始端A指向F4的末端E所形成的矢量即为合力FR的大小与方向。此法称为力的多边形法则。 由多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR的大小、方向与各力相加次序无关图3一6(c)。 上述方法可以推广到由n个力F1, F2 , Fn组成的平
4、面汇交力系。若平面汇交力系包含n个力，以FR表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述为,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,于是可以得出结论:平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线经过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各分力的矢量和。 2.平面汇交力系平衡的几何条件 由于平面汇交力系可以合成为一个力，显然，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是:该力系的合力等于零。用矢量表示，即 对该力系作力的多边形时，得到一个闭合多边形，即最后一个力矢的末端与第一个力矢的始端相重合，如图3 -8所示。因此，平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是:力的多边形自行封闭。,上一页,下一页,返回,3
5、. 1平面汇交力系,用几何法解题所获得解答的精确程度受作图质量的影响。 3.1.2平面汇交力系合成的解析法与平衡的解析条件 1.力在直角坐标轴上的投影 设力F作用在刚体上的A点，建立直角坐标系Oxy，使它与力F的作用线在同一平面内，如图3一11所示。从力F的起点A和终止点B分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a, b和a, b。线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。线段a b称为力F在y轴上的投影，用Fy表示。,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,若已知力F的大小和它与x轴间的夹角(取锐角)，则力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy分别为 如将F沿直角坐标轴方向分解。所得分力Fx、Fy的值
6、与力F在同轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但须注意，力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。力的投影正负号规定如下:若由a到b(或a到b)的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值;反之，为负值。,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,若已知Fx、Fy值，可求出F的大小和方向，即 2.平面汇交力系合成的解析法 设刚体上作用有一个平面汇交力系F1, F2, Fn，据式(3一1)有,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有 式(3-5)即为合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。 当平面汇交力系已知时
7、，可以求出力系中各力在坐标轴上的投影，然后利用合力投影定理求出平面汇交力系的合力在坐标轴上的投影FRx=Fx ,FRy=Fx，然后再将FRx, FRy合成，就可得到合力FR的大小为,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,若用表示合力FR与x轴所构成的锐角，则 合力的指向可由Fx及Fy的正负号决定。 必须指出，上述各公式只对直角坐标系成立。应用式(3 - 6) , (3 -7)计算合力大小和方向的方法，称为平面汇交力系合成的解析法。,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,3.平面汇交力系平衡的解析条件 通过上面的讨论可知，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是该力系的合力为零。用解析式表
8、示为 式中(Fx )2 、( Fx ) 2恒为正数，则要使FR=0，也只有,上一页,下一页,返回,3. 1平面汇交力系,所以，平面汇交力系平衡的充要条件为:力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和均等于零。式(3 -9)称为平面汇交力系的平衡方程。这是相互独立的两个方程，所以只能求解两个未知量。 通过以上的例题，可以归纳出解决平面汇交力系平衡问题的主要步骤和注意事项如下: (1)确定研究对象，画受力图。一般以待求物体为研究对象。先画主动力再画被动力;正确应用二力平衡公理(二力杆)和力的多边形法则。 (2)选取适当的坐标系。原则是坐标轴尽量与未知力垂直，可减少未知力的个数。 (3)根据平衡条件列出平
9、衡方程，要注意各力投影的正负号。 (4)求解未知量。解方程求出未知力。若求出的力为负值，则表示受力图上力的实际指向与所假设的指向相反。,上一页,返回,3. 2力矩、合力矩定理,3. 2. 1力对点的矩 在日常生活及生产实践中，脚蹬自行车，脚用一个很小的力踩踏板，可以带动自行车前进图3一16 (a)。用手拔不出来的钉子，可以很容易用羊角锤拔出来图3一16(b)。开、关门时，我们会把力作用在距离门中缝比较远的把手上，且用力方向尽可能与门垂直，这样开、关门比较省力，如图3一16(c)所示。装配机械时，会用扳手拧紧螺母图3一16(d)。以扳手拧螺母的实例来引入力矩的概念，用扳手转动螺母时，作用于扳手A
10、点的力F可使扳手与螺母一起绕中心点0转动。,下一页,返回,3. 2力矩、合力矩定理,由经验可知，力的这种转动作用不仅与力的大小、方向有关，还与转动中心至力的作用线的垂直距离d有关。因此，将F x dl的乘积定义为力使物体对点O产生转动效应的度量，称为力F对点O的矩，简称力矩，用符号MO(F)表示，记为 从力矩的定义式(3一10)可知，力矩有以下几个性质: (1)将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 (2)若MO(F)=0，则F=0或者d=0(即力F过矩心O点)。所以，力矩等于零的条件是:力的大小等于零或力的作用线通过矩心。 (3)互成平
11、衡的两个力对于同一点的矩的代数和等于零。,上一页,下一页,返回,3. 2力矩、合力矩定理,3. 2. 2合力矩定理 在计算力系的合力对某点的矩时，有时力臂的计算较烦琐，而将合力分解计算各分力对某点的矩较简单。讨论合力对某点的矩和分力对该点的矩的关系，这就是我们下面要讲述的合力矩定理。 定理:平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。 证明:设刚体上的A点作用着一平面汇交力系。力系的合力FR。在力系所在平面内任选一点O，过O作oy轴，且垂直于OA。如图3一17所示。则图中Ob1 , Ob2、Obn，0bR分别等于力F1, F2、Fn和FR在0y轴上的投影F1,
12、F2、Fny和FRy。现分别计算F1, F2、Fn和FR对点O的力矩。,上一页,下一页,返回,3. 2力矩、合力矩定理,由图3一17可以看出 将上述等式两边相加,上一页,下一页,返回,3. 2力矩、合力矩定理,根据合力投影定理 于是定理得到证明。对于有合力的其他各种力系，合力矩定理也是成立的。,上一页,返回,3. 3力偶及其基本性质,3. 3. 1力偶、力偶矩的概念 1.力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受大小相等、方向相反且不在同一作用线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力，如图3一19 (a)所示;工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力，如图3一19
13、(b)所示;以及用两个手指拧动水龙头时所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号(F，F)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。,下一页,返回,3. 3力偶及其基本性质,2.力偶矩 由实践经验可知，力偶只能使物体转动。当力偶的力F越大，或力偶臂d越大时，力偶使物体转动的效应越强;反之，转动效应就弱。 力偶(F, F)，其力偶臂为d，如图3一20所示。力偶对点O的矩为MO ( F, F)，则 因为矩心O是任意选取的，由此在力学上以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作M(
14、 F，F)或M。即,上一页,下一页,返回,3. 3力偶及其基本性质,于是可得结论:力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向，逆时针转向为正，反之为负，如图3 - 20所示。力偶矩的单位与力矩相同，也是 N.m。 3.力偶等效条件 除了力偶矩的大小，影响力偶对物体的转动效应的因素还有力偶的转向以及力偶作用面的方位。力偶对物体的转动效应取决于下列三要素: 力偶矩的大小、力偶的转向以及力偶作用面的方位。 平面力偶的等效是指上述三要素相同的力偶可以互相转换，而不改变对刚体的作用效果。,上一页,下一页,返回,3. 3力偶及其基本性质,图3 -21各分图中力偶的作用效应
15、都相同。力偶的力偶臂、力及其方向都可以改变，就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶，如图3 -22 (d)所示。 由此我们可以得出两个结论: (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,上一页,下一页,返回,3. 3力偶及其基本性质,3. 3. 2力偶的基本性质 力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质: (1)力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡
16、，力偶只能与力偶平衡。 (2)力偶在任何坐标轴上投影的代数和为零。 (3)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。,上一页,返回,3. 4平面力偶系的合成与平衡,3. 4. 1平面力偶系的合成 作用在同一个物体上的两个或两个以上的力偶组成一个力偶系，作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。 设在同一平面内有两个力偶(F1, F1)和(F2, F2)，它们的力偶臂分别为d1和d2，如图3-23 (a)所示。这两个力偶的矩分别为M1和M2，求它们的合成结果。在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d，并将它们在平面内转动，使力的作用线重合，如图3 -23(b)所示。于是得到与原力偶等效的两个新力偶(F3, F3)和(F4 , F4) 。即,下一页,返回,3. 4平面力偶系的合成与平衡,分别将作用在点A和B的力合成(设F3 F4)，得 由于F与F是相等的，它们构成了与原力偶系等效的合力偶(F, F ) ，如图3 -23(
