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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（62）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：02X00x22. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.例如： （1）化简 解：当x=0,x=2时,=0；当x2时,=x(x2)=x22x；当0x2时，=x(x2)=x2+x.（2）解方程=6.解：当x2时，x=4.原方程的解是：x=2， x=4
2、. （3）作函数y=的图象.解：化去绝对值符号，得y=2x+2 (x2). 分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象.3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：解方程；解不等式；解不等式.解：的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和3，方程的解是x=3, x=3.的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，不等式的解集是3x3.的零点是x=2, 的几何意义是：x是数轴上到点（2）的距离大于3个单位的点所表示的数，的解集是x1
3、.（如下图）1-2 0-54. 绝对值的简单性质：绝对值是非负数；两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：y= y=（2） 当f（x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x223的图象，可先作y=x2+2x3自变量x0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=；把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=.（4） 利用
4、图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.解：当x0. a1； 当x0时，原方程为x=ax+1,x=, 1a0. a1且a1，a的取值范围是a1.例2. 求函数y=2的最小、最大值.解：当x0时，y=x+6； 当0x1.例5. a取什么值时，方程 有三个整数解？解：化去绝对值符号，得=a, =1a , x2=(1a)， x=2(1a) . 当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 用图象解答更直观；（1）先作函数 y= 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y= 图象相交，恰好是三个交点时，y=1, 即a=1.
5、本题若改为：有四个解，则0a1；一个解，则a不存在；无解，则a0.三、练习621.方程=4的解是.2.方程=0的解是_.3.方程=3的解是_.4.方程=5的解是.5.不等式25的解集是_.6.不等式5的解集是_.7.不等式3的解集是_.8.不等式的解集是_.9.已知3-x,那么 _.10.关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 11.a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？12.作函数y=的图象；并求在3x3中函数的最大、最小值.13.解方程.14. 作函数y=的图象.15. 选择题：.对于实数x ，不等式1x27等价于（）（A）x1或x3（B）1x3（C）5x0（D）5x1或3
6、x9（E）6x1或3x10不等式x1+x+25的所有的实数解的集合是（）（A） (B) (C) (D) (E) （空集）练习62参考答案：1. 7，1. .2. 2. 3. 1x2. 4. 1，4. 5.2x0，5x8 6. 2x37.空集. 8. 0x 9.当x1时，原式=1；当1x3时，原式=2x1. 10.仿例1. 11.仿例5 12. 函数的最大值是11，最小值是5. 13. 1x5. 15.(D),(A).袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀
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