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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(63)动态几何的定值一、内容提要1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.例如： 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上； 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何的轨迹、极值和定值.几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而
2、有的量却始终保持不变，这就是定值问题.例如：半径等于RA的圆A与半径为RB(RBRA)的定圆B内切.那么：动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RBRA的长为半径的圆.而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RBRA.若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC(RBRA)ACRB+RC+(RBRA).即RC+RAAC2RB+RCRA . 所以AC有最大值：2RB+RCRA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ： 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.探求的
3、方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.二、例题例1.已知：ABC中，ABAC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PEPF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把点P放在BC中点上.这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PEPF2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.DAEBPCF因此原题可转化：求证：PAPB2AD（AD为底边上的高）.证明：ADPF，；.BCFPA即.PEPF2AD. 把点P放在点B上.这时PE0，PF2AD（三角形中位线性质），结论与相同.还
4、可以由PFBCtanC，把定值定为：BCtanC.即求证PEPFBCtanC.（证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. 点P放在直径AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）. 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.证明：设POA，根据余弦定理，得PA2R2r22RrCos，PB2R2r22RrCos(180).Cos(180)Cos.PA2PB22（R2r
5、2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,r的关系式，关键是引入参数.例3.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,b,c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=at.MNBC，.即；=c 是定线段，是定值.即有定值.例4.已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值.分析
6、：M是ABC的内切圆，AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理SinAMB=)，所求定值可用它来表示.证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB180.由正弦定理，SinAMB=.弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，AMB有定值.ACB有定值2AMB180.三、练习631.用固有的元素表示下列各题中所求的定值(不写探求过程和证明)：.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是_.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是.正
7、n边形内的任一点到各边距离的和有定值是.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：B1，B2，B3，B4，B5它们的度数和是_，延长凸n边形(n5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是_.两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，则有定值是_.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，则APAC+BPBD有定值是.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，PB分别交AB的中垂线于E，F.则OEOF有定值是_.2.已知：点P是O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.求证
8、：PC2+PD2有定值.3.已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PDBA交BA延长线于D，PEAC交AC的延长线于E.求证：DOE是定角4.已知：点P是线段AB外一点，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中点.求证：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是O的两条直径，点P是O上任一点(不含A，B，C，D).求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.6.经过XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.7. ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，P100，记mi=A
9、Pi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).则m1+m2+m100=. 8. 直角梯形ABCD中，ABCD，DAAB，AB26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，BCPQ为平行四边形？等腰梯形？PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？练习63参考答案：1腰上的高.一边上的高或3r3 . nrn. 180度，(n4)180度.两圆半径比.AB2 O的半径的平方.2.定值是AB平方的一半，证RtCOMRtOBD，OM=DN.3. 定值是直角，以PA为直径的圆经过A
10、，O，E，P，D五点，PE=AD，AOD=POE . 4.定值是AB的一半，证明 仿例3.5.定值是O的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6. 定值是(xoy=2)，证明 作AROQ交Dx于R，.7. 4100.袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅
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