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1、数学必修2 试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的 （ C ） A2倍 B4倍 C8倍 D0.5倍2.多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（ A ）ABCD正视3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ C ）A3x2y = 0 Bx + y5 = 0 C3x2y = 0 或x + y5 = 0 D2x3y = 0 或x + y5 = 04.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（ B ）教材A三角形的直观图可能是一条线段B平行四边形的直观图一定是平行四边形C正
2、方形的直观图是正方形D菱形的直观图是菱形5.若l、a、b表示直线，、表示平面，下列命题正确的是（ C ）A BC D6. 直线y = k(x1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（ C ）.A1, B1, C1,3 D,37.直线x + y1 = 0与直线x + y + 1 = 0的距离为（ B ）教材A2 B C2 D18.已知ABC中，三个顶点的坐标分别为A(5,1)，B(1,1)，C(2,3)，则ABC的形状为（ B ）A等边三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形9. 已知圆C1：x2 + y2 + 2x + 8y8 = 0，圆C2：x2
3、+ y24x4y2 = 0，则圆C1与圆C2的位置关系为（ A ）A相交 B外切 C内切 D外离10. 如图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ B ）A16 B15 C12 D13 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上.11.空间直角坐标系中两点A(0,0,1)，B(0,1,0)，则线段AB的长度为 . 12.已知圆的方程为x2 + y22x + 4y + 1 = 0，则此圆的圆心坐标和半径分别为 （1，2） ，2 . 13.圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60，则圆台的侧面积为
4、6 . ABCC1A1B114.已知线段AB的端点B的坐标为(4,0)，端点A在圆x2 + y2 = 1上运动，则线段AB的中点的轨迹方程为 (x2)2 + y2 = 15.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中（侧棱垂直于底面），ABC = 90，且AB = BC = AA1，则BC1与面ACC1A1所成的角的大小为 30 . 三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分8分）直线l过直线x + y2 = 0和直线xy + 4 = 0的交点，且与直线3x2y + 4 = 0平行，求直线l的方程. 解法一：联立方程：解得 ，即直线l过点(1,3)
5、，由直线l与直线3x2y + 4 = 0平行得：直线l的斜率为，所以直线l的方程为：y3 = (x + 1) 即3x2y + 9 = 0.解法二：直线x + y2 = 0不与3x2y + 4 = 0平行可设符合条件的直线l的方程为：xy + 4 + (x + y2)= 0 整理得：(1 + )x + (1)y + 42 = 0 直线l与直线3x2y + 4 = 0平行 解得 = 直线l的方程为：x y + = 0 即3x2y + 9 = 0ABCDA1D1B1C1E17.（本小题满分8分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1中点，（1）求证：BD1平面AEC；（2）求：异面直线B
6、D与AD1所成的角的大小. 证明：（1）设AC、BD交点为O，连结EO， E、O分别是DD1、BD中点 EOBD1 又EO 面AEC，BD1面AEC BD1平面AEC （2）连结B1D1，AB1 DD1BB1 B1D1BD AD1B1即为BD与AD1所成的角 在正方体中有面对角线AD1 = D1B1 = AB1 AD1B1为正三角形 AD1B1 = 60 即异面直线BD与AD1所成的角的大小为6018.（本小题满分8分）已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的方程. 解法一：设圆心C的坐标为(0,b)，由|CA| = |CB|得： 解得：b = 2 C点的坐
7、标为(0,2) 圆C的半径 = |CA| = 圆C的方程为：x2 + (y2)2 = 5 即x2 + y24x1 = 0解法二：AB的中点为(,)，中垂线的斜率为1 AB的中垂线的方程为y = (x) 令x = 0求得y = 2，即圆C的圆心为(0,2) 圆C的半径 = |CA| = 圆C的方程为：x2 + (y2)2 = 5 即x2 + y24x1 = 019.（本小题满分8分）已知，过点M(1,1)的直线l被圆C：x2 + y22x + 2y14 = 0所截得的弦长为4，求直线l的方程. 解：由圆的方程可求得圆心C的坐标为(1,1)，半径为4 直线l被圆C所截得的弦长为4 圆心C到直线l的
8、距离为2 (1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x =1，此时C到l的距离为2，可求得弦长为4，符合题意. (2)若直线l的斜率存在,设为k, 则直线l的方程为y1 = k(x + 1)即kxy + k + 1 = 0, 圆心C到直线l的距离为2 = 2 k2 + 2k + 1 = k2 + 1 k = 0 直线l的方程为y =1 综上(1)(2)可得：直线l的方程为x =1或 y =1.20.（本小题满分8分）如图，AB是O的直径，PAO所在的平面，C是圆上一点，ABC = 30，PA = AB. BAOPC(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)求直线PC与平面ABC所成角的正切值；
9、 (3)求二面角APBC的正弦值.解：(1)证明：AB是直径 ACB = 90，即BCACPABCBC平面PAC 又BC平面PBC平面PBC平面PAC （2）PA平面ABC 直线PC与平面ABC所成角即PCA 设AC = 1，ABC = 30PA = AB = 2 tanPCA = = 2(3) 在平面PAC中作ADPC于D，在平面PAB中作AEPB于连结DEABCPED 平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBC = PC，ADPC AD平面PBC ADPB 又PBAE PB面AED PBED DEA即为二面角APBC的平面角 在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，分别由等面积方法求得
10、AD = AE = 在直角三角形ADE中可求得：sinDEA = 即二面角APBC的正弦值为.ABACAE21.（本小题满分9分）在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60且与点A相距20海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里 则坐标平面中AB = 10，AC = 2 A(0,0)，E(0, 4) 再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,) 所以|BC| = = 2 所以BC两地的距离为20海里 所以该船行驶的速度为10海里/小时 （2）直线BC的斜率为 = 2 所以直线BC的方程为：y = 2(x3) 即2xy5 =0 所以E点到直线BC的距离为 = 1 所以直线BC会与以E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交，所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域.答：该船行驶的速度为10海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域.
