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1、1980年全国高考数学试题及其解析理工农医类一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数
2、间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、CBD、ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示).、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点. 文史类一（本题满分8分）化简二（本题满分10分）三（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。四（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比
3、上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五（本题满分14分）六（本题满分16分）1若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD。2写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD-ABCD。三边AB、AD、AA的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线BD垂直于E。1证明AEBD; 2.求AE的长。八（本题满分16分）1把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。2当时，各得到曲线的哪一部分？理工农医类参考答案及
4、解析二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数
5、,Logabxx=logaN,xlogab=logaN.b1,logab0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,N=bx=(alogab)x=axlogab,xlogab=logaN.b1,logab0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.PA平面M,PAl.又PB平面N,PBl.l平面PAB,lAB.六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少
6、有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB),BD2=ADAB.但AC2=ADAB,BD=AC.两端乘以正数sin,问题化为证明2sinsin21+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式
7、(1+cos)4(1-cos)cos-10.8t2(1-t2)(1+t2)2,即-9t4+6t2-10,-(3t2-1)20.不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2
8、+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,
9、b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是a1;这时,(E)与y轴的文史类参考答案及解析一、解：原式=二、解略：方程组的解为三、证：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1.A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）。设P(x,y)是圆上任一点，则有y2=1-x2.PA的斜率为，PB的斜率为，PAPB，APB为直角。四、解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为解得：x=32。答：略。五、解：六、证：1。SABC=SADC，且ABC与ADC有同
10、底AC，两高线相等：BE=DF。设AC与BD交于点O，则RtBOERtDOF。OB=OD。即AC平分BD。（若E、O、F重合、则已有BO=BE=DF=DO）2逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形。这个逆命题是正确的。证明如下：在上图中，由于OB=OD，BOE=DOF（对顶角），BEO=DFO=Rt，BOEDOF。BE=DF，即两高线相等。SABC=ACBE=ACDF=SADC。七、解：1.八、解：1.利用公式sec2t=1+tg2t,得曲线的直角坐标普通方程为图略。2当时，x1，y0,得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）;当时
11、，x-1，y0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括（-1，0）点）。不同的学习内容，预习作业也有差异。概念型内容可采用阅读理解的方法进行预习，计算型的内容可采用尝试练习的方法进行预习，空间图形内容可采用实验操作的方法进行预习。of rural drinking water sources, protection of drinking water sources in rural areas by the end of the delimitation of the scope of protection, complete with warning signs, isolating network protection facilities
