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1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1(2013安徽卷)在下列命题中,不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析B是公理2,C是公理1,D是公理3,只有A不是公理答案A2已知平面外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A,B,C分别在PA,PB,PC上,若延长AB,BC,AC与平面分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点(
2、)A成钝角三角形 B成锐角三角形C成直角三角形 D在一条直线上解析D,E,F为已知平面与平面ABC的公共点,D,E,F共线答案D3已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD,且ABCBCD,那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交 D以上情况均有可能解析若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.答案D4若直线l不平行于平面,且l,则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析依题意,直线lA(如图)内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直
3、线l是异面直线,故选B.答案B5(2014桂林中学上学期期中)下列四个图是正方体或正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图的个数为()A1B2C3D4解析只有第四个图中的四点不共面答案A6(2013江西卷)如下图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么mn()A8B9C10D11解析如下图,CE平面ABPQ,CE平面A1B1P1Q1,CE与正方体的其余四个面所在平面均相交,m4;EF平面BPP1B1,且EF平面AQQ1A1,EF与正方体的其余四个面所在平面均相交,n4,故mn8,选A
4、.答案A二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_Pa,PaabP,baab,a,Pb,Pbb,P,PPb解析当aP时,Pa,P,但a,错;aP时,错;如图,ab,Pb,Pa,由直线a与点P确定唯一平面,又ab,由a与b确定唯一平面,但经过直线a与点P,与重合,b,故正确;两个平面的公共点必在其交线上,故正确答案8在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线以上两个命题中,逆命题为真命题的是_(把符合要求的命题序号都填上)解析对于可举反例,如A
5、BCD,A,B,C,D没有三点共线,但A,B,C,D共面对于由异面直线定义知正确,故填.答案9(2013安徽卷)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时,S为四边形当CQ时,S为等腰梯形当CQ时,S与C1D1的交点R满足C1R当CQ1时,S为六边形当CQ1时,S的面积为解析对于,如图1,因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,当CQ时,PQ,这时截面S交棱DD1于D1,APD1Q,且PQAD1,截面S为等腰梯形,当CQ时,截面S与棱DD1
6、相交,截面S为四边形,故正确;对于,如图2,延长QR交DD1的延长线于N点,连接AN交A1D1于M,取AD中点G,作GHPQ交DD1于H点,可得GHAN且GHAN,设CQt(0t1),则DN2t,ND12t1,当t时,可得C1R,故正确,当t1时,S为五边形,故错误,当t1时,M为A1D1的中点,S为菱形PC1MA,AC1,MP,S的面积为AC1MP,故正确答案三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBDP,A1C1EFQ.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P
7、,Q,R三点共线证明(1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面(2)在正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q.又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理,P点也是与的公共点所以PQ.又A1CR,所以RA1C,R且R.则RPQ,故P,Q,R三点共线11已知空间四边形ABCD中,ABCD3,E,F分别是BC,AD上的点,并且BEECAFFD12,EF,求AB和CD所成角的余弦值解如图所示,在BD上取点G,使BGGD12,连接EG
8、,FG.在BCD中,EGCD,且GECD13,同理FGAB,且FGAB23,EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角在BCD中,EGCD,CD3,且EGCD13,EG1.在ABD中,FGAB,AB3,FGAB23,FG2.在EFG中,EG1,FG2,EF,由余弦定理得cosEGF,异面直线所成角的范围是090,cos0.AB与CD所成角的余弦值为.12(2013湖南卷)如图,在直棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABAC,AA13,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动()证明:ADC1E;()当异面直线AC,C1E所成的角为60时,求三棱锥C1A1B1E的体积解()证明:因为ABAC,D是BC的中点,所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1.由,得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.()因为ACA1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角,由题设,A1C1E60.因为B1A1C1BAC90,所以A1C1A1B1,又AA1A1C1,从而A1C1平面A1ABB1,于是A1C1A1E.故C1E2,又B1C12,所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.9 / 9