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1、第2 章 数字逻辑的应用,2. 1 几个基本概念 2. 2 逻辑代数及其运算 2. 3 逻辑代数的公式和运算规则 2. 4 逻辑函数及其表示方法 2. 5 逻辑函数的公式化简法 2. 6 逻辑函数的卡诺图化简法,返回,2. 1 几个基本概念,“逻辑” 一词来自于逻辑学, 逻辑学是研究逻辑思维与逻辑推理规律的。所谓逻辑, 是指事物发生的条件和结果之间所遵循的一种规律, 即因果关系。 在生产实践中存在许多互相对立却又互相依存的两个逻辑状态, 如灯的“亮” 和“灭”, 开关的“通” 和“断”, 信号的“有” 和“无”,等, 这样两个状态在逻辑学中都可以用逻辑“真” 和逻辑“假” 来表示。当定义其中一
2、个为“真” 时, 另一个一定为“假”。在数字电路中, 通常用“1” 表示“真”, 用“0” 表示“假”, 这种表示方式中不存在中间状态。需要注意的是, 这里的“0” 和“1” 不是表示数量大小, 而完全是表示事物的一种逻辑状态。,下一页,返回,2. 1 几个基本概念,在这种情况下, 我们把条件看作逻辑变量, 结果看作逻辑函数, 而逻辑变量和逻辑函数的取值只有“0” 和“1” 两种, 这样就把一种逻辑问题转化为一个代数问题, 这种用代数的方法去研究逻辑问题的科学称为逻辑代数。逻辑代数是1849 年英国数学家乔治布尔(George Bool) 最早提出的, 因此也称为布尔代数。1938 年克劳得
3、香农( ClaudeE. Shannon) 将布尔代数理论应用到继电器开关电路的设计中, 因此又称为开关代数。逻辑代数是研究数字电路的一个基本数学工具, 因此数字电路也称为逻辑电路。 数字电路中使用高、低两个电平表示两种不同的电路状态, 如果规定用高电平表示逻辑状态“1”, 用低电平表示逻辑状态“0”, 称为正逻辑; 反之, 称为负逻辑。两种逻辑之间是可以相互转变的, 如无特殊说明, 本书一般采用正逻辑。,上一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,2. 2. 1 逻辑代数中的三种基本逻辑运算 逻辑代数和普通代数一样, 用字母代表变量, 逻辑代数的逻辑变量称为布尔变量。和普通代数不同的是, 逻辑
4、变量只有两种取值, 即0 和1。常量0 和1 没有普通代数中的0 和1的意义, 它只表示两种对立的逻辑状态, 即命题的“假” 和“真”, 信号的“无” 和“有”, 等等。这种两值的变量称为逻辑变量, 通常用字母A, B, C, 来表示。 在普通代数中, 函数这个概念是大家所熟悉的, 即随着自变量变化而变化的因变量。与普通代数一样, 在逻辑代数中, 对于n 个逻辑变量A, B, C, , 如果有Y =F(A, B,C, ), 则称Y 为逻辑函数。逻辑函数与逻辑变量之间的关系称为逻辑函数表达式, 简称逻辑表达式。,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,如果输入逻辑变量A, B, C, 的取值确
5、定了, 逻辑函数的值也就被唯一地确定了。必须注意的是, 在逻辑代数中, 逻辑函数与逻辑变量一样只有两个取值: 0 和1。同样, 这里的0 和1 并不表示具体的“数”, 而只表示两种不同的逻辑状态。任一逻辑函数和其变量的关系, 不管多么复杂, 它都是由相应输入变量的与、或、非三种基本运算构成的。也就是说, 逻辑函数中包含三种基本运算与、或、非, 任何逻辑运算都可以用这三种基本运算来实现。通常把实现与逻辑运算的单元电路叫作与门, 把实现或逻辑运算的单元电路叫作或门, 把实现非逻辑运算的单元电路叫作非门(也叫作反相器)。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,1. 与逻辑和与门 1) 与
6、逻辑 先来看一个简单的例子, 图2-1 中A、B 为两个开关, Y 为灯, Y 的亮灭取决于A、B 的通断状态。 若以“1” 表示开关A、B 闭合, 以“0” 表示开关断开; 以“1” 表示灯亮, 以“0”表示不亮, 则可以列出输入变量A、B 的所有取值组合与输出变量Y 的一一对应关系, 这种用表格形式列出的逻辑关系, 叫真值表。它是描述逻辑功能的一种重要形式。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,2) 与门 能实现与逻辑运算的电路称为“与门”, 它是数字电路中最基本的一种逻辑门电路。图2-2 (a) 所示为国家标准局规定的与门标准符号, 图2-2 (b) 所示为国外技术资料及绘
7、图软件中常用的与门符号, 称为国外符号。 图2-2 (a) 和图2-2 (b) 是二输入的与门符号, 当输入增加时, 符号形状不变, 只是输入端增加而已。 2. 或逻辑和或门 1) 或逻辑 或逻辑电路如图2-3 所示。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,2) 或门 能实现或逻辑运算的电路称为“或门”。图2-4 (a) 所示为或门的标准符号, 图2-4 (b)所示为或门的国外符号。 3. 非逻辑和非门 1) 非逻辑 非逻辑电路如图2-5 所示。 该电路输入A 与输出Y 关系如表2-5 所示。结果灯Y 的亮、灭与条件开关的闭合、断开呈现一种相反的因果关系, 这种关系称为非逻辑, 或
8、者叫逻辑反。所谓非逻辑, 是指条件具备, 结果便不会产生; 而条件不具备时, 结果一定发生, 即结论是对前提条件的否定。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,同理, 若以“1” 表示开关A 闭合, 以“0” 表示开关断开; 以“1” 表示灯亮, 以“0” 表示不亮, 则可以列出非逻辑的真值表如表2-6 所示。 在逻辑代数中, 逻辑变量之间逻辑非的关系称作非运算, 也叫求反运算。逻辑非的表达式为,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,2) 非门 能实现非逻辑运算的电路称为“非门”。图2-6 (a) 所示为非门的标准符号, 图2-6 (b)所示为非门的国外符号。 2. 2
9、. 2 逻辑代数中的五种复合逻辑运算 实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂得多, 不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。最常用的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。表2-7 给出了它们的表达式、真值表、逻辑符号和运算规律。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,1. 与非运算 与非运算是将与运算的结果求反得到的。其逻辑表达式、真值表和逻辑符号运算规律如表2-7 所示。 2. 或非运算 或非运算是将或运算的结果求反得到的。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号和运算规律如表2-7 所示。 3. 与或非运算 与或非运算是将A 和B、C 和D 分别相与, 然后将两者结果求和最后再求反
10、得到的。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号和运算规律如表2-7 所示。,上一页,下一页,返回,2. 2 逻辑代数及其运算,4. 异或运算 异或运算表示的逻辑关系是: 当输入变量A 和B 的取值不同时, 输出变量的值为1; 当输入变量A 和B 的取值相同时, 输出变量的值为0。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号和运算规律如表2-7 所示。 5. 同或运算 同或运算表示的逻辑关系是: 当输入变量A 和B 的取值相同时, 输出变量的值为1; 当输入变量A 和B 的取值不同时, 输出变量的值为0。其逻辑表达式、真值表、逻辑符号和运算规律如表2-7 所示。 实现本节所述各种逻辑运算的电路称为门电路。常用集成门电
11、路有与门、或门、非门(也称反相器)、与非门、或非门、异或门、同或门、与或非门等, 它们的电路组成及工作原理将在后面章节阐述。,上一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,根据逻辑代数中的与、或、非三种基本运算, 可以推导出逻辑代数运算的一些基本定律, 也可以称为逻辑代数的公理。熟悉这些基本定律以后, 可以推出逻辑代数的一些常用公式, 这些定律和公式为逻辑函数的化简提供了依据, 也是分析和设计数字逻辑电路的理论工具。 2. 3. 1 逻辑代数中的基本公式 逻辑代数不仅有与普通代数相类似的定律, 如交换律、结合律、分配律, 还有它本身的一些特殊规律。逻辑代数共有八条基本定律, 现将它分成三大
12、类, 列在表2-8 中。,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,表2-8 中, 交换律、结合律、分配律是与普通代数相似的定律; 0, 1 律和互补律表明了逻辑运算中常量与变量间的关系; 重叠律、否定律和反演律则是逻辑代数特有的规律。 根据基本的逻辑概念及与、或、非的基本运算规律, 我们很容易就可以看出下面这些定律是正确的: 交换律、结合律、0, 1 律、互补律、重叠律、否定律。 还有一些定律如分配律中A + BC = (A + B)(A + C) 以及反演律(也称摩根定律), 就不容易马上看出是否正确。对于这些不能马上看出是否正确的定律, 可以分别作出等式两边的真值表, 再检查其结
13、果是否相同来证明, 这个方法式是最方便有效的。,上一页,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,2. 3. 2 逻辑代数的常用公式 利用表2-8 的基本定律, 可以推演出一些在逻辑函数的化简中经常用到的公式。 该公式的意义在于: 在一个与或表达式中, 若两个乘积项分别含有同一因子的原变量和反变量, 而其他因子相同, 则这个乘积项可以合并, 并可消去互为相反的因子, 这也是卡诺图化简的理论基础。,上一页,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,该公式的意义在于: 在一个与或表达式中, 若一个乘积项是另一个乘积项的因子, 则另一个乘积项是多余的, 可以消去。 该公式说明: 在一
14、个与或表达式中, 若一个乘积项或一个因子的反是另一个乘积项的一部分, 则另一个乘积项中该乘积项或因子是多余的, 可以消去。,上一页,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,该公式的意义在于: 如果在一个与或表达式中, 两个乘积项分别含有同一因子的原变量和反变量, 而这两项的剩余因子正好组成第三项, 则第三项是多余的, 可以消去。以上各公式也可以用真值表来证明。,上一页,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,2. 3. 3 逻辑代数的三个重要运算规则 1. 代入规则 任何一个含有某变量的等式, 如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式, 则此等式依然成立, 这一
15、规则称为代入规则。利用代入规则很容易把表2-8 中的基本公式和常用公式推广为多变量的形式。用代入规则证明反演律也适用于多变量的情况。 2. 反演规则 对于任何一个逻辑函数F, 若同时将式中所有的“” 和“+” 互换、“0” 和“1” 互换、“原变量” 和“反变量” 互换, 则得到的逻辑函数就是原函数F 的反函数。,上一页,下一页,返回,2. 3 逻辑代数的公式和运算规则,若两个函数式相等, 则它们的反函数必然相等, 称这一规则为反演规则。运用反演规则时必须注意运算符号的先后顺序, 必须按照先括号, 然后再与, 最后或的顺序变换。 3. 对偶规则 在一个逻辑表达式F 中, 若将式中所有的“” 和
16、“+” 互换、“0” 和“1” 互换, 则新得到的函数表达式F称为F 的对偶函数或对偶式。若两个函数式相等, 则它们的对偶函数必然相等, 称这一规则为对偶规则。运用反演规则时同样必须注意运算符号的先后顺序。 利用对偶规则, 表2-8 八个基本公式的左边和右边可以互相推导。,上一页,返回,2. 4 逻辑函数及其表示方法,2. 4. 1 逻辑函数 逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量之间逻辑关系的表达式。在实际的数字系统中, 任何逻辑问题都可以用逻辑函数来描述。现在举一个简单例子来说明, 在两层楼房装了一盏楼梯灯Y, 并在一楼和二楼各装一个单刀双掷开关A 和B, 如图2-7 所示。如果用A =1 和B =1 代表开关在向上的位置a 和a, A =0 和B =0 代表开关在向下的位置b 和b;以Y =1 代表灯亮, 以Y =0 代表灯灭, 显然A、B 的状态决定了Y 的状态, 则可将A、B 的状态和Y 的状态表达为逻辑函数Y =F(A, B)。,下一页,返回,2. 4 逻辑函数及其表示方法,2. 4. 2 逻辑函数的表示方法 在分析和处理实
