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1、,二 次 函 数,复习与小结,一、二次函数的概念及其关系式 1.二次函数的概念：形如_(a，b，c是常数，a0) 的函数. 2.二次函数的关系式： (1)一般式：_. (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其顶点坐标是_.,y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c(a0),(h，k),二、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质 1.当a0时 (1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(_ ).(3)对称轴：直线_. (4)增减性：当x 时，y随x的增大而_. (5)最值：当x= 时，y最小值=_.,减小,增大,2.当a 时，y随x的增大而_. (5)最值：当x= 时，y最大值=
2、_.,增大,减小,【思维诊断】(打“”或“”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2的顶点坐标是(3，-2). ( ) 3.二次函数y=x2-2的对称轴是y轴，有最小值-2. ( ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到的函数表达式是y=(x+2)2-3. ( ),热点考向一 二次函数的图象和性质 【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，则下列说法：c=0； 该抛物线的对称轴是直线x=-1； 当x=1时，y=2a；am2+bm+a0(m-1). 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3
3、D.4,【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a0)根据a确定开口方向，顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口方向，分对称轴左右两部分来考虑.,【自主解答】选C.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点， c=0，故正确；二次函数与x轴的交点坐标是(-2，0)和 (0，0)，对称轴是直线x=-1，故正确； ， b=2a，当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a，故不正确； b=2a，am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2，又m-1，a0， a(m+1)20，故正确.,【规律方法】二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的性质 1.a0时，开口向上，a
4、0时，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大.,【真题专练】 1.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示， 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图 象上，且x1y2,【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x1时，y随着x的增大而增大； x1x21，点A，点B在对称轴的左侧，y1y2.,【方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用三种方法比较函数值的大小： (1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较. (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解. (3)根据二次函数的性质，结合函数图
5、象比较.,热点考向二 二次函数表达式的确定 【例2】在平面直角坐标系xOy中， 抛物线y=mx2-2mx-2(m0)与y轴 交于点A，其对称轴与x轴交于点B.,(1)求点A，B的坐标. (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的表达式. (3)若该抛物线在-2x-1这一段位于(2)中直线l的上方， 并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线 的表达式.,【思路点拨】(1)令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴方程，即可得到点B的坐标. (2)求出点A关于对称轴的对称点(2，-2)，然后设直线l的表达式为y=kx+b(k0)，利用待定系数法求一次函数表达式即
6、可. (3)根据二次函数的对称性判断在2x3这一段与在-1x0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线的表达式.,【自主解答】(1)当x=0时，y=-2，A(0，-2).抛物线对称轴 为 ，B(1，0). (2)A点关于对称轴的对称点为A(2，-2)，则直线l经过A， B .设直线的表达式为y=kx+b(k0). 则 解得 直线l的表达式为y=-2x+2.,(3)抛物线对称轴为x=1，抛物线在2x3这一段与在-1x 0这一段关于对称轴对称，又直线l与直线AB关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2x
7、 -1这一段位于直线l的上方，在-1 x0这一段位于直线l的下方.抛物线与直线l的交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1时，m+2m -2=4，m=2. 抛物线的表达式为y=2x2-4x-2.,【规律方法】二次函数的三种表达式 1.一般式y=ax2+bx+c(a0). 2.顶点式y=a(x-m)2+n(a0)，其中(m，n)为顶点坐标. 3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，其中(x1，0)，(x2，0)为抛物线与x轴的交点. 一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点
8、的坐标用交点式.,【真题专练】 1.(2013牡丹江中考)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4， -3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，请回答下列问题： (1)求抛物线的表达式. (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于 C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8， 求BCD的面积.注：抛物线y=ax2+bx+c (a0)的对称轴是 .,【解析】(1)对称轴是 ，b=6. 又抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)， (-4)2+6(-4)+c=-3，解得c=5. 抛物线的表达式为y=x2+6x+5.,(2)和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，点C的横
9、坐标为-7，点C的纵坐标为y=(-7)2+6(-7)+5=12. 又抛物线与y轴交于点B(0，5)， CD边上的高为12-5=7， SBCD= 87=28.,【知识拓展】二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， 图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称.,【例3】(2013牡丹江中考)抛物线 y=ax2+bx+c(a0的解 集是 ( ) A.x-3 C.-31,热点考向四 二次函数与方程或不等式,【解析】选C.观察图象，可知当-30，即ax2+bx+c0， 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是-3x1.,【规律方法】二次函数与方程或不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数
10、y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点，则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解. (2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.,2.利用二次函数图象解不等式的方法 不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0时，y0取两边，y0取中间.,【真题专练】 1.二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示， 下列正确的个数为 ( ) bc0 2a-3c0 ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，x10，x20 当x1时，y随x增大而减小 A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】选B.开口向上得a0，对称轴在y轴右侧得b
11、0，图象交y轴负半轴得c0，可知正确，错误；由对称轴x= 1可知正确；函数图象与x轴有两个交点可知正确；由图象可知错误.,命题新视角 二次函数图象的平移 【例】如图，抛物线y=x2+bx+ 与y轴相交 于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于 点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在 直线OB上，对称轴与x轴相交于点D.平移 抛物线，使其经过点A，D，则平移后的 抛物线的表达式为 .,【审题视点】,【自主解答】C在对称轴上，A，B关于对称轴对称，C是OB 的中点，C点坐标为 ，把C点坐标代入y=x2+bx+ ， 得 ，解得b=3(舍去)或b=-3，所以D点坐 标为 . 设平移后的抛物线的表达式为
12、y=x2+kx+ ，将D点坐标代入 y=x2+kx+ ，解得k= ，故平移后的抛物线的表达式为 y=x2- x+ . 答案：y=x2- x+,【规律方法】解决抛物线平移的两种方法 1.代数法：抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式. 2.几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出变化后的表达式的顶点式.,【真题专练】 1.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( ) A.(-3，-6) B.(1，-4) C.(1，-6) D.(-3，-4),【解析】
13、选C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5，把y=2(x+1)2-5的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位， y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6， 平移后的图象的顶点坐标是(1，-6).,2.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的关系式为( ) A.y=-2(x+1)2+2 B.y=-2(x+1)2-2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2-2,【解析】选C.把抛物线y=-2x2向右平移1个单位长度，得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)2，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)
14、2+2.,3.下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是 ( ) A.y=3x2+2 B.y=3(x-1)2 C.y=3(x-1)2+2 D.y=2x2,【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后，二次项系数仍然是3，不可能变为2，故选D.,【方法技巧】求一般式的抛物线平移后的表达式的方法 应先将抛物线用配方法化为顶点式，再按抛物线的平移规律：左右平移在括号里对横坐标x进行加减运算(左加右减)；上下平移对常数进行加减运算(上加下减).,【典例】(2013黄石中考)若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 .,【误区警示】,【规避策略】 根据函数图象与x轴的交点个数求函数表达式中参数的值，当题目中没有明确说明是二次函数时注意分类讨论.因为一次函数与x轴也有交点.,
