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1、第六章应力、强度计算,第一节平面图形的几何性质 第二节轴向拉压时横截面上的应力和强度计算 第三节剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件 第四节连接件的强度计算 第五节梁弯曲时的应力与强度,第六章应力、强度计算,第六节提高梁抗弯强度的途径 第七节组合变形杆的强度计算 每章一练,教学目标,1.基本把握平面图形的几何性质。 2.熟悉掌握轴向拉压时横截面上的应力强度计算方法。 3.熟悉掌握剪切、挤压变形时构件的应力和强度条件和强度计算实例。 4.掌握提高梁抗弯强度的途径。 5.掌握组合变形杆件的强度计算方法。,第一节 平面图形的几何性质,平面图形的几何性质是指根据截面尺寸经过一系列运算所得的几何数据，如
2、面积。构件的承载能力与这些几何数据有着直接的关系，这从下面的例子可以得知。 将一杆件分别平放于两个支点上和竖放于两个支点上如图6-1(a),(b)所示，然后加相同的力F，显然前一种放置方式下所发生的弯曲变形要远大于后一种放置方式下所发生的弯曲变形。其差异仅是截面放置方式不同造成的，这就说明构件的承载能力与截面几何数据有直接的关系。下面介绍几种有关的截面几何性质。,下一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,一、截面形心和静矩 1.截面形心和静矩的定义与计算公式 (1)截面形心的定义截面形心是指截面的几何中心。一般用字母C表示，其坐标分别记作yC、zC，例如，圆截面的形心位于圆心，矩形截面的形心位
3、于两对角线的交点处。通常，截面图形的形心与匀质物体的重心是一致的。 (2)截面的静矩定义截面的静矩是指截面积与它的形心到y(z)轴的距离zC(yC)的乘积，即 Sy=zCA,Sz=zCA (3)静矩计算公式对任意的截面图形，由于面积和形心坐标不容易确定，只能将其分割计算，然后积分求和。图6-2所,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,示曲边截面图形，将其分割成n块(n)，取其中一微面积，记作dA。dA的形心到y轴的距离为:z，事实上因dA很微小，故可视为一点。dA与z的乘积称为该微面积对y轴的静矩，记作dSy，即 dSy=zdA 对上式两边关于整个图形积分，得到整个图形关于Y轴的静
4、矩，记作Sy，即 Sy=ASy =AzdA (6-1a) 式(6-1a)说明整个平面图形关于某个坐标轴的静矩等于该图形各部分对同一坐标轴的静矩之和。工程中，构件的截面图形往往由几个简单图形组成，因此式(6-1a)的无限项求,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,和的积分式可转变为按简单图形分割计算的有限项求和式，即 Sy=ziAi (1-6b) 式中，z=1,2 ,3,; A为简单图形面积; zi为简单图形的形心坐标。 将式(6-1a)和式(6-1b)中的y，z互换即得截面关于z轴的静矩的计算式，即 Sz =AdSz = AdA Sz=yiAi (4)截面形心的计算公式设图6 -2
5、所示截面图形的形心坐标为yC、zC ，面积为A。注意到工程中的构件，其截面图形往往由几个简单图形组成，则由面积的静矩定义及式(6-1b),下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,得 Sy = zCA=ziAi 从而 (6-2a) 将式(6-2a)中的z换成y即得形心坐标yC的计算式 (6-2b),下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,2、常用图形的静矩与形心坐标的计算 例6-1 图6-3所示矩形截面宽为b，高为h，试求该矩形截面阴影部分所围面积关于z、y轴的一次矩。 解：由于阴影部分面积Ao和形心坐标yC1、zC1是可以直接计算得到的，即 从而,下一页,上一页,返回,第一
6、节 平面图形的几何性质,例6-2求图6 -4所示的截面图形的形心坐标yC、zC 。 解：该图形由两个矩形组成，分别记作、，写出有关数据,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,由式(6-2a ,b)得,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,二、截面惯性矩 将图6-5所示曲边截面图形分割成n块(n) ，取其中一微面积，记作dA。事实上因dA很微小，故可视为一点，dA到y轴的距离为z，则dA与z2的乘积，称为该微面积关于y轴的惯性矩，记作，dIy即 dIy= z2 dA 对上式两边关于整个图形积分，得到整个图形关于y轴的惯性矩，记作Iy即 Iy= AdIy= Az2 dA (
7、6-3a) 将式中y，z互换，即得整个图形关于z轴的惯性矩，记作Iz 即,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,Iz = Ad Iz = Ay2 dA (6-3b) 显然，截面惯性矩与坐标轴有关，对于不同的坐标轴其数值不同。截面惯性矩的量纲为长度4，其值恒大于零。 2、简单图形的截面惯性矩 (1)矩形截面图6-6所示矩形截面关于形心轴zC的惯性矩为 (6-4a) 截面关于形心轴yC的惯性矩为 (6-4b),下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,(2)圆形截面设圆形截面的直径为d，圆形截面关于任意一根过圆心的形心轴的惯性矩均相等，为 (6-5) 3、截面惯性矩的平行移轴公
8、式 一般来说，截面图形的惯性矩只能使用积分式(6-3a)求得，但在已知截面图形关于形心轴的惯性矩时，可以使用截面惯性矩的平行移轴公式来求截面图形关于平行于形心轴的任一轴的惯性矩，截面惯性矩的平行移轴公式为 Iz=IzC+a2A (6-6a) 同理可得 Iy=IyC+b2A (6-6b),下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,式中，zC(yC)轴是形心轴，IzC，IyC是截面图形关于形心轴zC(yC)的惯性矩，z(y)轴是zC(yC)轴的平行轴; Iz(Iy)是截面图形关于z(y)轴的惯性矩，a(b)是两平行轴zC(yC) ， z(y)之间的距离，a是截面面积。 4、截面惯性矩的计算
9、 例6-3 试求图6 -7所示矩形截面关于底边轴:的截面惯性矩Iy，图中尺寸单位为mm。,下一页,上一页,返回,第一节 平面图形的几何性质,解：由图知h=600mm，b=400mm两轴间距离a=h/2 =300mm，截面积A = bh，截面关于形心轴zC的惯性矩 由式(6-6a)得,返回,下一页,上一页,第一节 平面图形的几何性质,三、惯性半径 定义:截面关于:轴的惯性半径记作iz，截面关于y轴的惯性半径记作 iy，即 (6-7a) (6-7b) 式中，A是截面积，Iz，Iy分别是截面关于z轴、y轴的惯性矩。惯性半径的量纲是长度1。,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,一
10、、轴向拉压时横截面上的应力 1、轴向拉压时横截面上的应力分析 由前面章节关于截面的内力的讨论可知，轴向拉压时横截面上的内力为轴力FN，下面讨论截面上一点的应力。以一矩形截面杆为例，图6-10(a)所示，在施加荷载之前，在杆件表面划上垂直于轴线且位于同一平面内的两个平行封闭周线m-m与n-n，再划上与轴线平行的直线aa,hh，施加荷载后观察杆件的变形如图6-10(b)所示。由受力前后aa,bb与aa,bb的比较可知，从mm到mm是一个平移，且仍垂直于杆轴;从nn到nn也是一个平移，且仍垂直于杆轴，这两个封闭周线仍然平行，只是原有的距离发生了改变。另外，平行于轴线的两,下一页,返回,第二节 轴向拉
11、压时横截面上的应力和强度计算,直线段aa,hh仍然平行，只是长度发生了改变和原来的平行距离发生了改变。根据上述现象可作如下假设: (1) m-m , n-n两封闭周线所围的截面变形后仍然是平面，且垂直于轴线，这个推断称为平面假设。 (2)假想杆件是由无数根平行于杆轴线的纤维所组成，变形后纵线和横线的夹角不变，这就是说只有线应变而无角应变。从而可得以下结论:横截面上各点的伸长相同。因无切向的变形，横截面上只有正应力;由于材料是均匀的，所以各点处的正应力大小相同，沿截面均匀分布。,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,2、轴向拉压时横截面上的应力计算 从横截面上取一微面
12、积dA，如图6-10(a)所示，作用在微面积上的微内力为dFN = dA则全截面A上的微内力的总和为轴力FN如见图6-10(c)所示，即 (6-8) 式中。为工作应力，拉为正、压为负;FN为杆截面轴力;A为横截面面积。,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,例6-6 图6-11所示三角托架，已知F=10kN，夹角=300，杆AB为圆截面，其直径d=20mm，杆BC为正方形截面，其边长=100mm。试求各杆的应力。,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,解: (1)计算内力。注意到力F作用于B结点上，AB , BC杆均为二力杆。取B结点为研
13、究对象，画受力图如图6-11(b)所示(两杆轴力均设为拉力)。 (2)求各杆应力值,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,二、轴向拉压杆的强度计算 1、轴向拉压杆的强度条件 轴向拉压杆的强度条件为 (6-9) 式中， max是杆件的最大工作应力;FN是材料的许可应力;FN是危险截面上的轴向内力;A是危险截面的面积。 2、有关强度的问题 根据强度条件式(6-9)可以解决有关强度的三类问题。 (1)强度校核表达式为,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,判断最大工作应力是否在许可范围内。 (2)确定截面尺寸表达式为 先确定满足强度条件所需的截
14、面面积，再进而确定截面尺寸。 (3)确定允许荷载表达式为 先确定强度条件所允许的最大内力值，再根据外力与内力的关系确定所允许的最大荷载值。,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,例6-7 图6-12所示变截面柱子，力F=100kN,柱段的截面积A1= 240mmx 240mm，柱段的截面积A2= 240mm x 370mm，许可应力=4 MPa，试校核该柱子的强度。 解:(1)求各段轴力: 由截面法 FN1 =F=100kN(压) FN2 =3F=300kN(压) (2)求各段应力: 由式(6-8),下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,
15、(3)进行强度校核: 由于柱段的工作应力大于柱段的工作应力，所以取进行校核 2=3.38MPa=4MPa 所以该柱子满足强度条件。,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,三、应力集中 等截面直杆发生轴向拉压变形时，横截面上的应力是均匀分布的。但如果构件上有切口、油孔、螺纹、带有过渡圆角的轴肩等，在这些部位处尺寸会发生突变。理论分析与实验表明，在这些部位处的应力分布是不均匀的，如图6-13所示。在这些部位附近的局部区域内，应力数值急剧增加，这种现象，工程中称之为应力集中现象。 应力集中的区域内应力状态比较复杂，当最大应力在弹性范围内时，通常采用应力集中系数k来表示应力
16、集中的程度。设o为截面削弱后的平均应力，max为最大局部应力，则k = max/o。应力集中系数k是一个大于1的系数,下一页,上一页,返回,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算,，它与截面尺寸变化的激烈程度有关，截面尺寸变化越激烈，则应力集中的程度就越严重，从而k也就越大。所以当截面尺寸需要变化时，应尽量使其缓慢过渡，以此减小应力集中的影响。 脆性材料与塑性材料对应力集中的敏感程度是不一样的: 脆性材料在整个破坏过程中变形始终很小，所以当脆性材料开孔处的 max 达到 b材料的强度极限)时，虽然周围的应力还比较小，杆件仍会在小孔边缘处出现裂缝而破坏。 塑性材料在整个破坏过程中将产生较大的塑性变形，当孔周边处的应力达到 s (材半的屈服点)时，应力将不再增大，而是向相邻材料传递荷载，依次使相邻材料的应力达到屈,返回,下一页,上一页,第二节 轴向拉压时横截面上的应力和强度计算
