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1、知识改变命运，学习成就未来提能拔高限时训练35一、选择题1.已知A(0,b),点B为椭圆(ab0)的左准线与x轴的交点.若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 解析:由已知,得B(),又A(0,b),AB的中点C为.点C在椭圆上,即.答案:C2.椭圆的左、右两个焦点分别为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF2|等于（ ）A. B. C. D.4解析:方法一:设F1(,0),F2(,0),则点P的横坐标为.由点P在椭圆上,得即|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4,|PF2|=.方法二:由已知得a=2,c=,e=
2、,椭圆的右准线方程为.答案:C3.设F1、F2分别是椭圆(ab0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析:如图,设右准线与x轴的交点为H,则|PF2|HF2|.又|F1F2|=|PF2|,|F1F2|HF2|,即2c.3c2a2.e2,即e.又eb0)的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.解析:入射光线所在直线的方程为y-1=(x+3),它与直线y=-2的交点为.又反射光线过点(-c,0),.又,.答案:
3、A5.设椭圆(ab0)与x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB的面积最大值为（ ）A.ab B. C.ab D.2ab解析:方法一:设P(acos,bsin),则S四边形OAPB=SOAP+SOBP=.sin+cos=sin(+),S四边形OAPBab.方法二:设点P(x,y),则S四边形OAPB=SAOP+SBOP=由不等式性质:a0,b0时,方法三:如图,直线AB的方程为S四边形OAPB=SAOB+SAPB=+SAPB.设点P到直线AB的距离为d,则SAPB=,由题意,知过点P的直线与椭圆相切且和直线AB平行时d有最大值,可设过点P且与A
4、B平行的直线为.联立方程组得2b2x2-2mabx+a2(m2-b2)=0,=(-2mab)2-8a2b2(m2-b2)=0,解得.由两平行线间的距离公式,得SAPB最大值=,S四边形OAPB最大值=.答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l,若l与椭圆交于A、B两点,点P为椭圆上的动点,则使PAB的面积为的点P的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析:可求出直线l:2x+y-2=0.由方程组解得x=0或x=1.A(0,2),B(1,0),|AB|=.点P到AB的距离为.由AB所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x0,y0),则解之有两组解.故存在两个不同的P点满
5、足题意.答案:B7.椭圆(为参数)的离心率为（ ）A. B. C. D.解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得即.a2=9,b2=4,即a=3,b=2.c2=a2-b2=5,c=.答案:C8.设e为椭圆的离心率,且e(),则实数m的取值范围为（ ）A.(-1,0) B.(-2,-1)C.(-1,1) D.(-2,)解析:椭圆方程为,m-2且-m0,0-m2.a2=2,b2=-m,即c2=a2-b2=2+m,.解得m(-1,0).答案:A9.若AB为过椭圆中心的弦,F1为椭圆的右焦点,则F1AB面积的最大值为（ ）A.6 B.12 C.24 D.48解析:由已知得F1为(3,0),则F1AB可看
6、成由OBF1和OAF1组成.设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).=.由椭圆的定义,知|y0|b=4,答案:B10.已知椭圆,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A、B两点,交y轴于P点,设=1,=2,则1+2的值为（ ）A. B. C. D. 解析:设直线AB的方程为y=k(x-c),则,=.1+2=.答案:B二、填空题11.已知椭圆的离心率,则m的值为_.解析:分两种情况.焦点在x轴上时,0m5,解得.答案: 3或12.(理)在ABC中,AB=BC,cosB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_.解析:以A、B为焦点的椭圆经过点C,.AB=BC,.又,，解得.答案:(文)
7、在ABC中,A=90,tanB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,又A=90,|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x,那么2c=|AB|=4x,.答案:13.已知A、B为椭圆C:的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且APB的最大值是,则实数m的值是_.解析:由椭圆知识,知当点P位于短轴的端点时APB取得最大值,根据题意则有答案:14.椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点.当F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是_.解析:若F1PF2=90,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,.F1(,0
8、),F2(,0). 又. 解得x=.结合椭圆图形可得,当F1PF2为钝角时,.答案：三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A,且OF=2FA,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)设=0,求直线PQ的方程.解:(1)由题意,设椭圆的方程为.由已知,得解得a=,c=2.椭圆的方程为,离心率.(2)由(1)知A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0.依题意=12(2-3k2)0,.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x2=,由
9、直线PQ的方程,得y1y2=k(x1-3)k(x2-3)=k2x1x2-3(x1+x2)+9.=0,x1x2+y1y2=0.整理得5k2=1,.直线PQ的方程为(x-3),即或.16.(理)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(2)当ABC=60时,求菱形ABCD面积的最大值.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.四边形ABCD为菱形,ACBD.设直线AC的方程为y=-x+n.由得4x2-6nx+3n2-4=0.A,C在椭圆上,=-12n2+640,解得.设A(x1,y1),C(x2,y
10、2),则x1+x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.y1+y2=,AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知,点在直线y=x+1上.,解得n=-2.直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)四边形ABCD为菱形,且ABC=60,|AB|=|BC|=|CA|.S菱形ABCD=.由(1)知|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=S菱形ABCD=当n=0时,S菱形ABCD取得最大值.(文)已知ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且ABl.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及ABC的面积;(2)当ABC=90,且斜边AC的长最大时,
11、求AB所在直线的方程.解:(1)因为ABl,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由得x=1.所以|AB|=|x1-x2|=.又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=,SABC=.(2)设AB所在直线的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-4=0.因为A,B在椭圆上,所以=-12m2+640.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则.所以|AB|=|x1-x2|=.又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=,所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-
12、(m+1)2+11.所以当m=-1时,AC边最长.(这时=-12+640)此时AB所在直线的方程为y=x-1.【例1】已知椭圆M的两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),离心率,P是椭圆M上的动点.(1)求椭圆M的方程;(2)设=m,求m的取值范围.(3)求的取值范围.解:(1)由已知得c=1,a=2,b=,即椭圆M的方程为.(2)设P点的坐标为(x0,y0),则x0-2,2,又=e(x0+)=a+ex0,m=2ex0=x0-2,2.(3)=m,=4,=, =.cos,=.又m-2,2,2,3.【例2】已知椭圆 (ab0),长轴两端点为A、B,如果椭圆上存在一点Q,使AQB=120,求这个椭圆的离心率的范围.解:如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q在x轴上方,设Q点坐标为(x0,y0),直线QA、QB的斜率分别为
