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1、组合与数论问题选讲 1. 设 a1,a2, ,a2014是 1,2, ,2014 的排列, 且当 1 i b. 三个非负整数 x, y, z 若满足 x y z 且 x y,y z = a,b, 则称 x,y,z 为好集合. 证明: N 可以写为互不相交 的好集合的并集. 18. 对于正整数 n 3, 证明存在互不相等的正整数 a1, a2, , an, 使得 1kn,k=i ak 1(mod ai),i = 1,2, ,n. 19. 给定有理数 r, (1) 是否存在若干个有理数 x1, x2, , xn, 使得 x1x2xn= 1, x1+ x2+ + xn= r? (2) 是否存在若干个
2、有理数 x1, x2, , xn, 使得 x1x2xn= r, x1+ x2+ + xn= 1? 20. 设 p 5 为素数, N = (p 1)p+ 1. (1) 证明 N 有异于 p 的素因子. (2) 若 n i=1p ai i 是 N 的素因数分解式, 证明 n i=1aipi p2/2. 21. 给定正整数 m 和 n, 证明存在正整数 c, 使得 cm 和 cn 的数字中包含同样多 个 1, 同样多个 2, , 同样多个 9. 22. 设整数 a, b 满足 a b 1 且 b 为奇数, n 为正整数. 如果 bn|an 1, 证明 ab 3n/n. 组合与数论问题选讲3 23.
3、如果存在正整数 m, n 使得 (m2+ n)(n2+ m) = a(m n)3, 则称整数 a 为 友好的. (1) 证明: 在 1,2, ,2012 中, 至少有 500 个是友好的; (2) 判断 2 是否友好. 24. 设正奇数 m, n 3. 证明: 2m 1 - 3n 1. 25. 设 m, n 为正整数. 证明 6m|(2m + 3)n+ 1 当且仅当 4m|3n+ 1. 26. (1) 求所有素数 p 使得 (7p1 1)/p 为完全平方数; (2) 求所有素数 p 使得 (11p1 1)/p 为完全平方数. 27. 给定素数 p = n2+ 1. 求下述方程的正整数解: x2
4、 (n2+ 1)y2= n2. 28. 设 p 5 为素数, 如果存在整数 k, 使得 p|k2+5, 证明: 存在正整数 m, n, 使 得 p2= m2+ 5n2. 29. 设 k, m, n 是互不相等的正整数, 证明 ( k 1 k )( m 1 m )( n 1 n ) kmn (k + m + n). 30. 将 1, 2, , n2填入一个 n n 方格表中 (每格填一个数), 使得任意 n 个彼 此既不同行也不同列的格子中的数, 其乘积被 n2+ 1 除的余数都相同. 问: 对于 n = 8, 这是否可能? n = 10 呢? 31. 求所有的正整数 n, 使得存在两个不相等的
5、 n 位正整数 a 和 b, 使得 10na+b 能被 10nb + a 整除. 32. 求所有的正整数 n, 使得存在正整数 m, 它能被 1, 2, , n 整除, 但不能被 n + 1, n + 2, n + 3 整除. 33. 证明: 至少有 31 组正整数 (x,y) 满足 4x3 3x + 1 = 2y2且 x 2005. 34. 若存在有理数 a, b 使得 a + b 和 an+ bn都是整数, 但 a, b 都不是整数, 求 正整数 n 1 的所有可能值. 35. 是否存在正整数 n, 使得 n,n + 1, ,n + 999 这 1000 个数中, 小数 点后第 200 位数字为 0, 1, , 9 的恰好各有 100 个? 36. 给定正实数 , 证明: 存在无穷多个正整数 n, 使得 n2 为偶数.
