《2019版高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第4讲 直线与圆的位置关系配套理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第4讲 直线与圆的位置关系配套理（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲 直线与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系,2.两圆的位置关系,3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法,(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的,一半及半径构成的直角三角形计算.,(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：,AB 的斜率).,说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,4.圆的切线方程常用结论,(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2. (2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在
2、直线方程为x0xy0yr2.,1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为,(,),B,A.内切,B.相交,C.外切,D.相离,解析：两圆心之间的距离为 d 两圆的半径分别为 r12，r23，则r2r11dr1r25.故两 圆相交.故选 B.,2.已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦,的长度为 4，则实数 a 的值为(,),B,A.2,B.4,C.6,D.8,3.已知直线 xya0 与圆心为 C 的圆 x2y22x4y4 0 相交于 A，B 两点，且 ACBC，则实数 a 的值为_. 解析：圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)29，所以圆 C 的圆心为(1
3、,2)，半径 r3.又直线 xya0 与圆 C 交于 A， B 两点，且 ACBC，所以圆心 C 到直线 xya0 的距离 d,a6.,0 或 6,4.(2015 年重庆)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则,该圆在点 P 处的切线方程为_.,x2y50,解析：由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方 程为 x2y25，所以该圆在点 P 处的切线方程为 1x2y 5，即 x2y50.,考点 1,直线与圆的位置关系,考向 1,直线与圆位置关系的判断,例 1：若直线4x3ya0与圆 x2y2100 有如下关系： 相交；相切；相离.试分别求实数 a 的取值范围. 解：方法一，(
4、代数法),25x28axa29000.,(8a)2425(a2900)36a290 000. 当直线和圆相交时， 0 ， 即36a2 90 0000 ， 5050. 方法二，(几何法) 圆 x2y2100 的圆心为(0,0)，半径 r10，,【规律方法】判断直线与圆位置关系的三种方法：,几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关 系判断；代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个 数来判断；直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆 的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.,【互动探究】,C,1.直线 xky10 与圆 x2y21 的位置关系是(,),A.相交
5、C.相交或相切,B.相离 D.相切,解析：直线 xky10 恒过定点(1,0)，而(1，0)在圆 上.故直线与圆相交或相切.,考向 2,切线问题,例 2：过点 A(1,4)作圆(x2)2(y3)2 1 的切线 l，求 切线 l 的方程. 解： (12)2(43)2101， 点 A 在圆外. 方法一，当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程是 x1， 不满足题意. 设切线 l 的斜率为 k，则方程为 y4k(x1).,即 kxy4k0.,因此，所求切线 l 的方程为 y4 或 3x4y130. 方法二，由于直线 l 是圆的切线，,消去 y，得到关于 x 的一元二次方程(1k2)x2(2k2
6、2k,4)xk22k40，,则 (2k22k4)24(1k2)(k22k4)0. 化简，得 4k23k0.,因此，所求切线 l 的方程为 y4 或 3x4y130.,【规律方法】1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法： 先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为,图形可直接得切线方程为 yy0 或 xx0.,2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：,设切线方程为 yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于 半径建立方程，可求得 k，也就得切线方程.当用此法只求出一 个方程时，另一个方程应为 xx0，因为在上面解法中不包括斜 率不存在的情况，而过圆外一点的切线有
7、两条.一般不用联立方 程组的方法求解.,【互动探究】,B,2.(2017 年山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2 的切,线有且只有一条，则该切线的方程为(,),A.2xy50 C.x2y50,B.2xy70 D.x2y70,解析：依题意知，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点. 圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.,考向 3,弦长问题,例 3：(1)(2015 年新课标)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，,7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|(,),答案：C,答案：4 【规律方法】关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦 心距、弦长的一半所
8、组成的直角三角形求解，也可用代数法的 弦长公式求解.,考点 2,圆与圆的位置关系,例 4：(1)(2016 年山东)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直,线 xy0 所得线段的长度是,，则圆 M 与圆 N：(x1)2 ,),(y1)21 的位置关系是( A.内切 C.外切,B.相交 D.相离,答案：B,(2)若圆 x2y22mxm240 与圆 x2y22x4my 4m280 相切，则实数 m 的取值集合是_.,【规律方法】(1)判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆 半径之间的关系；(2)两圆相切包括内切和外切，两圆相离包括 外离和内含.,【互动探究】,C,3.若圆 C1：x2y21与圆 C
9、2：x2y2 6x8ym0 外切，,),则 m( A.21 C.9,B.19 D.11,考点 3,直线与圆的综合应用,例 5：已知圆C：x2y2 x6ym0 和直线 x2y3 0 相交于 P，Q 两点，若 OPOQ，求 m 的值. 思维点拨：本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关 系、根与系数的关系等知识.,方法二，由直线 x2y30，得 3x2y. 代入圆的方程 x2y2x6ym0，,则以弦 PQ 为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2. OPOQ，坐标原点在该圆上.,则(01)2(02)2r25. 在 RtCMQ 中，CM2MQ2CQ2，,方法四，设过 P，Q 的圆系方程为 x2y2x
10、6ym (x2y3)0. 由 OPOQ 知，点 O(0,0)在圆上. m30，即 m3. 圆的方程化为 x2y2x6y3x2y30，,2(3)30.,即 x2(1)xy22(3)y0.,又圆心 M 在 PQ 上，,1 2,1.m3.,据直线方程构造出一个关于 的二次方程，虽然有规律可循，但,【规律方法】求解本题时，应避免去求 P，Q 两点坐标的 具体数值.除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，这是 因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被大 家忽略；方法一显示了解这类题的通法，方法二的关键在于依,y x,需要一定的变形技巧，同时也可以看出，这种方法一气呵成.,【互动探究】
11、4.(2015 年新课标)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与 圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点. (1)求 k 的取值范围；,所以直线 l 的方程为 yx1. 故圆心在直线 l 上，所以|MN|2.,易错、易混、易漏 忽略斜率不存在的情形及转化不等价致误,则 k 的取值范围为(,),A.k0 B.k0，或 k1 C.k1，或 k1，或 k1,正解：由题意，设 y1 ，y2kx2.当 k0 时，原 方程只有 1 个解 x0，满足题意；当 k0 时，根据题意画出图 象，如图 7-4-1，易知当 k1 或 k1 时，半圆 y 与直 线 ykx2 只有一个交点，即原方程只有一个解.故选 D.,图 7-4-1 答案：D,为 8，则此弦所在的直线方程为_. 正解：当斜率k不存在时，过点P的直线方程为 x3， 代入 x2y225，得 y14，y24.,弦长为|y1y2|8，符合题意.,所求直线方程为 x30 或 3x4y150. 答案：x30 或 3x4y150,
