《2018年高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性新人教b版必修1（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.3 函数的单调性,一,二,一,二,3.若把增、减函数定义中的“任意x1,x2”改为“存在x1,x2”可以吗? 提示:不可以,如图: 虽然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是单调函数.因此“任意”两字不能忽视,更不能用“特殊”取代. 为了方便也可将定义改为:如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,总有 ,那么就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.,一,二,4.填空. 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间MA. 如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量x=x2-x10,则 当y=f(x2)-f(
2、x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图(1)所示. 当y=f(x2)-f(x1)0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图(2)所示. 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).,一,二,5.做一做:已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( ) 答案:B,一,二,6.“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同? 提示:不相同.函数f(x)的单调增(减)区间是D,这一说法意味着除D之外,函数f(x)再无其他单调增(减)区间. 函数f(x)在
3、区间D上是增(减)函数,则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间,即除区间D外,函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间.,一,二,7.做一做:已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调减区间为 .,一,二,二、判断函数单调性的步骤 【问题思考】 填空. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤: (1)任取x1,x2M,且x=x2-x10; (2)作差:y=f(x2)-f(x1); (3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等); (4)定号(即判断y的正负); (5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性)
4、.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.,答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,思想方法,用定义法证明(判断)函数的单调性 【例1】 利用单调性的定义证明函数 在(-,0)内是增函数. 分析:解题的关键是对y=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号. 证明设x1,x2是(-,0)内的任意两个值,且x10,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟证明函数的单调性的步骤 1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1x2(在证明函数的单调性时,由于x1,x2的取值具
5、有任意性,它代表区间内的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替它们); 2.作差变形:作差y=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法); 3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则; 4.判断:根据定义作出结论(若x=x2-x1与y=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用图象求函数的单调区间 【
6、例2】 已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图象求解即可.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.由函数的图象得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点. 2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用. 3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种
7、是y=|f(x)|,函数值上加绝对值. 4.加绝对值的函数图象的两种画法: (1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图象. (2)利用函数图象的变换,即通过图象间的对称变换,得到已知函数的图象.,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数单调性的简单应用 【例3】 (1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,求实数a的取值范围; (2)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),求t的取值范围. 分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,寻找对称轴与区间的位置关系求解;(2)充分利用函数的单
8、调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2, 该二次函数图象的对称轴为x=1-a. f(x)的单调减区间为(-,1-a. f(x)在(-,4上是减函数, 对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合. 1-a4,解得a-3. (2)g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.已知函数的单调性求参数范围,要注意数形结合,画出图象,往往解题很方便,同时要采取逆向思维求解; 2.充分利用了函数的单调性,在单调区间内,变量与函数值之间
9、的关系,将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.,探究一,探究二,探究三,思想方法,已知f(x)=-x3+ax在(0,1)内是增函数,求实数a的取值范围.,探究一,探究二,探究三,思想方法,分类讨论思想在函数单调性中的应用 【典例】 讨论函数f(x)= (-1x1,a0)的单调性. 思路点拨:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x1x2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调
10、性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论. 2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.,1,2,3,4,5,1.下列函数在区间(-,0)内为增函数的是( ),6,解析:设任意x1,x2(-,0),x=x2-x10,选项A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以该函数在区间(-,0)内为减函数;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间(-,0)内为减函数,选项D中函数在区间(-,
11、0)内为增函数. 答案:D,1,2,3,4,5,6,2.下列命题正确的是( ) A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数 B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数 C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,则f(x)在I1I2上为增函数 D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1x2 解析:根据函数单调性的定义来判断. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调减区间为 .,1,2,3,4,5,6,4.已知函数f(x)=ax2-x+a+1在区间(-,2)内是减函数,则a的取值范围为 .,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,6.已知g(x)是定义在-2,2上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围.,
