《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.4 函数的应用（ⅱ）新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.4 函数的应用（ⅱ）新人教b版必修1（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 函数的应用(),一,二,一、常见的实际问题 【问题思考】 1.如何在函数应用题中选择并建立合适的模型? 提示:函数模型的选择与建立,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析自变量x的取值范围,同时还要与实际问题相结合,如取整等.,一,二,2.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长的特点是什么? 提示:(1)对于幂函数y=xn,当x0,n0时,y=xn才是增函数,当n越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数是增函数前提是a1,又因为它们的图象关于y=x对称,从而可知,当a越大,y=ax增长越快,当a越小,y=logax增长越快,一般来说axlogax(x0,a1). (
2、3)指数函数与幂函数.当x0,n0,a1时,可能开始时xnax.但指数函数是爆炸型函数,当x大于某一个确定值x0后,就一定有axxn. (4)增长速度.可以用三个词来形容它们的增长情况:y=ax(a1)越来越快;y=xn(n0,x0)相对平缓;y=logax(a1)越来越慢.,一,二,3.填空. (1)人口数的计算 设原有人口a人,人口的自然年增长率为b,则经过x年后,人口数为y=a(1+b)x. (2)复利及其应用 复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息. 本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则本利和y随存期x变化的函数关系式为y=
3、a(1+r)x(xN+). (3)半衰期及其应用 放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期. 一种放射性元素最初的质量为a g,按每年r(0r1)衰减.t年后,这种放射性元素的质量w的表达式是w=a(1-r)t.这种放射性元素的半衰期 .,一,二,二、三种函数模型 【问题思考】 1.填空. (1)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0),其增减特点是:当b1,a0时,随着自变量的增大,函数值增大增长速度越来越快,常形象地被称为指数爆炸. (2)对数函数模型,即y=mlogax+n(a0,a1,m0),其增长特点是:当a1,m0时,随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.
4、(3)幂函数模型,即y=ax+b(a0),其中最常见的是二次函数模型:y=ax2+b(a0),其特点是:当a0时,随着自变量的增大,函数值先减小,后增大.,一,二,2.做一做:某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:,则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数( ) A.y=a+bx B.y=bx C.y=ax2+b D.y= 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)对数函数模型其函数值是变化速度最慢的函数. ( ) (2)指数函数模型其函数值增长的速度是越来越快的. ( ) (3)据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近
5、50年内减少了5%,如果按此速度,设2008年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2008年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是y=(1-0.0550-x)m. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,指数函数模型 【例1】诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:2015年诺贝尔奖发放后基金总额
6、约为19 800万美元.设f(x)表示第x(xN+)年诺贝尔奖发放后的基金总额.(2015年记为f(1),2016年记为f(2),依次类推) (1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式; (2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由. (参考数据:1.031 291.32),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析:指数函数型模型的应用是高考的一个主要内容,常与增长率相结合进行考查.在实际问题中,有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数型模型来表示.通常可表示为y=a(
7、1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟指数函数y=ax(a1)经复合可以得到指数型函数,指数型函数的函数值变化较快,指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同,并且根据已知数据的关系能建立起模型,进而能对未知进行推断.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1某公司预投资100万元,有两种投资方案可供选择:方案一:年利率10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;方案二:年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元
8、) 分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答. 解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100(1+10%5)=150(万元). 本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100(1+9%)5153.86(万元). 由此可见,方案二更有利,5年后多得利息约3.86万元.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数函数模型 【例2】 某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m(mN+)个单位的药剂后,经过x天该药剂
9、在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中 当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为m=6,那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为m,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对数函数y=logax(x0,a1)经复合可以得到对数型函数,其函数值变化比较缓慢.涉及对数
10、式,因此要格外注意真数的取值范围,还要结合实际问题使所求问题有实际意义.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,幂函数模型 【例3】 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(cm3/s)与管道半径r(cm)的四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)假设气体在半径为3 cm的管道中,流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径r cm的管道时,其流量速率R的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.,探究一,探究二,探究三,探究四,思
11、维辨析,反思感悟对于幂函数模型在实际的工程、科研等领域都有较广泛的应用,此种模型相对形式简单,但不同的实际问题其对应模型的系数和幂次相差很大,很多实际问题一般直接给出模型结构形式,我们只需分析数据,利用数据确定参数即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,建立拟合函数模型 【例4】某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润
12、.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图(1)(2)所示.,观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2, 解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,
13、思维辨析,反思感悟解决拟合函数模型问题一般有以下步骤: (1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图. (2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了. (3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.,探究一,探究二,探究三,探
14、究四,思维辨析,变式训练2某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax,y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由. (2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年
15、人均销量最多是多少?,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适. 因为函数y=kx+b,y=logax,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征. (2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因未弄清函数类型而致误 【典例】 某林区2017年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%. (1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域; (2
16、)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%); 经过2年后木材蓄积量为200(1+5%2); 经过x年后木材蓄积量为200(1+5%x). 所以y=f(x)=200(1+5%x)(xN+). (2)设x年后木材蓄积量为300万立方米,故经过10年,木材蓄积量达到300万立方米. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:本例错误的根源是没有弄清平均增长率的含义,直接把函数模型建错了.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米. 经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%); 经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2; 所以经过x年后木材蓄
