《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算新人教b版必修1（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.1 对数及其运算,一,二,三,四,一、对数的概念 【问题思考】 1.你会求下列方程吗? (1)2x=8; (2)2x=1; (3)3x=2. 提示:(1)(2)易求,满足2x=8的x=3;满足2x=1的x=0;但满足3x=2的x没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定方程3x=2存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需要引入本节课将要学习的“对数”.,一,二,三,四,2.填空. (1)一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b=logaN(a0,且a1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”
2、; (2)以10为底的对数称为常用对数,即log10N,记作lg N; (3)以无理数e(e=2.718 28)为底的对数称为自然对数,即logeN,记作ln N;,一,二,三,四,3.为什么规定在对数logaN中,a0,且a1呢?,(2)当a=0,N0时,不存在实数x使ax=N成立,无法定义logaN.当a=0,N=0时,任意非零正实数x,有ax=N成立,logaN不确定. (3)当a=1,N1时,不存在实数x,使ax=N,logaN无意义.当a=1,N=1时,ax=N恒成立,logaN不能确定.,一,二,三,四,一,二,三,四,二、对数的性质 【问题思考】 1.为什么零和负数没有对数? 提
3、示:因为x=logaN(a0,且a1)ax=N(a0,且a1),而当a0,且a1时,ax恒大于0,即N0.故0和负数没有对数. 2.填写下表:,3.做一做:使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是( ) A.x3 B.x0 D.x3,且x2 答案:B,一,二,三,四,一,二,三,四,2.填写下表:,一,二,三,四,3.做一做:下列各等式中,正确运用对数运算性质的是 (其中x,y,z0)( ),答案:D,一,二,三,四,四、对数的换底公式 【问题思考】,一,二,三,四,答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)因为(-2)2=4,所以lo
4、g-24=2. ( ) (2)log34与log43表示的含义相同. ( ) (3)0的对数是0. ( ) (4)lg N是自然对数. ( ) (5)logaxlogay=loga(x+y). ( ) (6)loga(-3)2 018=2 018loga(-3). ( ) (7)logablogbclogca=1(a,b,c0且均不等于1). ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数式与指数式的互化 【例1】 完成下表指数式与对数式的转换.,解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3
5、; (2)log39=232=9; (3)log210=x2x=10; (4)e3=xlogex=3,即ln x=3. 答案:(1)lg 1 000=3 (2)32=9 (3)2x=10 (4)ln x=3,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式,其关系如下表:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数基本性质的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.对数恒等式 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的求值. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步
6、骤求解. 2.利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化 (1)logax=1x=a(a0,且a1). (2)logax=0x=1(a0,且a1). 我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2求下列各式的值:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数运算法则的应用 【例3】化简下列各式:,分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对数运算法则的使用技巧及注意事项 1.“收”:同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等,然后
7、化简求值,如log24+log25=log220. 2.“拆”:将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值,如 . 3.各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1,真数大于0. 4.注意“同底”这个化简的方向,因为同底的对数才可能利用对数的运算法则. 5.要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义. 6.不仅要会正向运用对数的运算法则,还要学会其“逆用”和“变形用”.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数换底公式的应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探
8、究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.应用换底公式表示已知对数的两个策略,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,2.利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式 (1)技巧:“化异为同”,即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算. (2)常见的三种处理方式: 借助运算性质:先利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底求解. 借助换底公式:一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值. 利用对数恒等式或常见结论:有时可熟记一些常见结论,这样能够提高解题效率.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,防范措施由对数的定义可知,对
9、数logaN中a0,且a1,N0.因此我们在处理有关含有对数的方程或不等式等相关问题时,一定要充分考虑这些限定条件,否则会出现增解或使原表达式无意义等错误.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,1,2,3,4,5,1.已知3m=7,则有( ) A.3=log7m B.7=log3m C.m=log73 D.m=log37 解析:由于ax=Nx=logaN,则3m=7m=log37. 答案:D,6,1,2,3,4,5,6,2.有下列说法: 任何一个指数式都可以化成对数式; 以a(a0,且a1)为底1的对数等于0; 以3为底9的对数等于2; 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D
10、.4 解析:正确,错误,如(-2)2=4,(-1)2=1等不能化成对数式; 因为log39=log332=2,所以错误; 因为log3(-5)无意义,所以错误. 答案:A,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,4.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 . 解析:原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x), 所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5. 经检验知x=5. 答案:x=5,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,6.计算下列各式的值: (1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5; (2)(1-log63)2+log62log618log64. 解:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5 =lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5 =lg 2lg 10+lg 5 =lg 2+lg 5=lg 10=1. (2)(1-log63)2+log62log618log64,=(log62)2+(log62)2+log622log632log62 =log62+log63=1.,
