《2018年高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系新人教b版必修1（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.1 集合之间的关系,一,二,三,四,一、维恩(Venn)图 【问题思考】 1.集合能用直观图形来表示吗? 提示:能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观. 2.填空. 我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.,一,二,三,四,二、子集、真子集、集合相等的概念 【问题思考】 1.下列写法哪个是正确的: 0=0;00;00;00. 提示:只有写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.,一,二,三,四,2.填写下表:,一,二,三,四,3.做一做:用适
2、当的符号填空(,=,). (1)0,1 N; (2)2 x|x2=x; (3)2,1 x|x2-3x+2=0. 答案:(1) (2) (3)=,一,二,三,四,三、子集、真子集的性质 【问题思考】 1.与的关系如何? 提示:与的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把看成集合中的元素来考虑. 2.填空. (1)规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即AA. (3)对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC. (4)对于集合A,B,C,如果AB,BC,则AC.,一,二,三,四,四、集合关系与其特征性质之间的关系
3、【问题思考】 1.试从集合特征性质的角度来理解集合A=x|x是6的约数,与集合B=x|x是12的约数的关系. 提示:集合A的特征性质p(x)是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x)是:x是12的约数.而6的约数是1,2,3,6;12的约数是1,2,3,4,6,12,由此得知,“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,则有“如果x是6的约数,那么x是12的约数”,即xAxB,所以AB. 2.填写下表: 设A=x|p(x),B=x|q(x),则有,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)集合2 017与(0,2 017)之间的关系为2 017(0,2
4、017). ( ) (2)空集是任意集合的子集. ( ) (3)若一个集合中含有n个元素,则该集合的非空子集个数为2n. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,判断集合之间的关系 【例1】 (1)设M=菱形,N=平行四边形,P=四边形,Q=正方形,则这些集合之间的关系为( ) A.PNMQ B.QMNP C.PMNQ D.QNMP (2)有下列关系: 00;0;0,1(0,1);(a,b)=(b,a).其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形,故
5、集合M,N,Q均为P的子集,再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知QMNP. (2)中根据元素与集合的关系可知00正确; 中由空集是任意非空集合的真子集可知0正确; 中集合0,1的元素是数,而集合(0,1)的元素是点,因此没有包含关系,故错误; 中集合中的元素是点,而点的坐标有顺序性,因此(a,b)(b,a),故错误.综上,应选B. 答案:(1)B (2)B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟判断两个集合A,B之间是否存在包含关系有以下几个步骤: 第一步:明确集合A,B中元素的特征. 第二步:分析集合A,B中元素之间的关系. (1)当集合A中的元素都属于集合B时,有AB. (
6、2)当集合A中的元素都属于集合B,但集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB. (3)当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,有A=B. (4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A,B互不包含.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,A.MN B.MN C.NM D.NM 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,确定集合的子集、真子集 【例2】 集合A=x|0x3,且xN的真子集的个数是( ) A.16 B.8 C.7 D.4 解析:因为0x3,xN,所以x=0,1,2,即A=0,
7、1,2,所以A的真子集的个数为23-1=7. 答案:C 【例3】 求满足条件x|x2+5=0Mx|x2-1=0的集合M. 分析:M是集合x|x2-1=0的子集,又x|x2+5=0是空集,它是M的真子集,所以M不是空集.因此问题归结为求x|x2-1=0的非空子集. 解:因为x|x2+5=0=,x|x2-1=0=-1,1,其非空子集为-1, 1,-1,1,所以M为-1或1或-1,1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.(1)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件: 集合A是集合B的子集;存在元素xB,但xA. 所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集
8、,反之,不成立. (2)若集合A=1,2,B=1,2,3,则A是B的子集,也是真子集,用符号AB与AB均可,但用AB更准确. 2.与子集、真子集个数有关的四个结论 假设集合A中含有n个元素,则有: (1)A的子集的个数为2n; (2)A的真子集的个数为2n-1; (3)A的非空子集的个数为2n-1; (4)A的非空真子集的个数为2n-2.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2写出集合M=x|x(x-1)2(x-2)=0的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集. 解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M=0,1,2. 由0个元素构成的子集为:;
9、由1个元素构成的子集为:0,1,2; 由2个元素构成的子集为:0,1,0,2,1,2; 由3个元素构成的子集为:0,1,2. 因此集合M的所有子集为:,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除集合0,1,2以外,其余的子集全是集合M的真子集.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,两个集合相等及其应用 【例4】 已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,若A=B,求x,y的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代
10、表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等. 2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性. 3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,根据子集的关系,确定参数的值 【例5】已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|ax+1=0,满足QP,求a的取值. 分析:先明确集合P,再结合QP对Q中的a分两种情况讨论. 解:P=x|x2+x-6=0=2,-3. 当a=0时,Q=x|ax+1=0=,QP成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对
11、于两个集合A,B,若A或B中含有待确定的参数(字母),且AB或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法. (1)分类讨论是指: AB在未指明集合A非空时,应分A=和A两种情况来讨论. 因为集合中的元素是无序的,由AB或A=B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论. (2)数形结合是指对A这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上表示出来,分清实心点与空心点,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)求出参数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(3)解决集合中含参数问题时,最后结
12、果要注意验证. 验证是指:分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互异性.所求参数的取值范围能否取到端点值. (4)对于本题而言易漏掉当a=0时的情况,要清楚当a=0时,ax+1=0是无解的,即此时Q为空集.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,已知集合A=x|x2-5x+6=0,B=x|(m-1)x-1=0,且BA,则以实数m为元素的集合M为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因忽略B为空集这一特殊情况而致误 【典例】 集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1. (1)若BA,求实数m满足的条件; (2)当xZ时,求A的非空真子集的个数. 错解:(1)由题
13、意并结合数轴(如下图),所以实数m满足的条件是2m3. (2)当xZ时,A=-2,-1,0,1,2,3,4,5, 所以A的非空真子集的个数为28-1=255.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:(1)中忽略了B=时的情形; (2)中误认为是求A的真子集或A的非空子集的个数. 正解:(1)当B=时,A,符合题意,此时m+12m-1,解得m2. 当B时,由题意结合数轴(如下图).,综合,可知m满足的条件是m3. (2)当xZ时,A=-2,-1,0,1,2,3,4,5, 所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
14、,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,防范措施空集是一种特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当BA时,B为空集的情况容易被忽略,因此,当条件不明确时,要注意分情况来讨论,本题中若不考虑B为空集的情况,将会丢掉m2这一部分解.,1,2,3,4,5,1.设集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,则2x+y等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.-1,6,1,2,3,4,5,6,2.设集合A=x|1x2,B=x|xa,若AB,则a满足的条件是( ) A.a2 B.a1 C.a1 D.a2 解析:结合数轴(如下图). AB,a2. 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.已知
15、集合U=R,则正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0关系的Venn图是( ) 解析:N=x|x2+x=0=-1,0,对照Venn图可知A符合题意, 即NMU. 答案:A,1,2,3,4,5,6,4.集合a,b,c,d的非空子集的个数为 . 答案:7,1,2,3,4,5,6,5.有下面5个命题: 空集没有子集; 任意集合至少有两个子集; 空集是任何集合的真子集; 若A,则A; 集合AB,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素. 其中不正确命题的序号有 . 解析:错误,因为空集是任意一个集合的子集;错误,因为空集只有一个子集;错误,因为空集是任意一个非空集合的真子集,空集并不是它本身的真子集;正确;错误,因为其叙述不符合子集的定义,若AB,则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素即可. 答案:,1,2,3,4,5,6,6.已知集合M=x|x2,且xN,N=
