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1、第四节 连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量及其概率密度函数 概率密度函数的性质 三种重要的连续型随机变量,则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度 .,一、连续型随机变量及其概率密度函数,有,连续型随机变量的分布函数在 上连续,(Continuous Random Variable),(Probability Density Function),二、概率密度函数的性质,1 o,2 o,对于任意实数 x1 , x2, (x1 x2 ),利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有,故X的密度 f(x)
2、 在 x 这一点的值, 恰好是X 落在 区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度.,* 若 x 是 f(x) 的连续点，则,对 f(x)的进一步理解:,* 若不计高阶无穷小，有,表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,在连续型 r .v 理论中所起的作用与,在离散型 r .v 理论中所起的作用相类似.,* 注意: 密度函数 f (x)在某点处a的高度, 并不反映X取值的概率. 但是, 这个高度越大, 则X取a附近的值的概率就越大. 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,a,(1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率
3、均为0. 即,注意:,这是因为,当 时,得到,由P(B)=1, 不能推出 B=S,由P(A)=0, 不能推出,(2) 对连续型 r.v X , 有,1. 均匀分布(The Uniform Distribution),则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，,X U(a, b),三、三种重要的连续型随机变量,若 r .v X的概率密度为：,记作,*均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入， 小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间， 即乘客的候车时间等。,例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:3
4、0, 7:45 等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,*指数分布常用于各种“寿命”分布的近似， 例如，电子元件的寿命，轮胎的寿命，电话的通话时间等。,2 . 指数分布(The (Negative) Exponential Distribution),若
5、 r .v X具有概率密度,为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.,若X 服从参数为 的指数分布, 则其分布函数为,当 时,当 时,3. 正态分布(The Normal(Gaussian) Distribution),若连续型 r .v X 的概率密度为,X N(, 2),正态分布是概率论中非常重要的分布， 可以用正态分布来描述的实例非常多， 例如，各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等。,正态分布的重要性可以由以下情形加以说明： 1) 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一， 大量的随机
6、现象都是服从或近似服从正态分布的。 可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响， 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。 2) 正态分布有许多良好的性质， 这些性质是其它许多分布所不具备的。 3) 正态分布可以作为许多分布的近似分布。,则有,曲线 关于 轴对称；,函数 在 上单调增加,在 上,单调减少,在 取得最大值；,x = 为 f (x) 的两个拐点的横坐标；,当x 时，f(x) 0.,f (x) 以 x 轴为渐近线,决定了图形的中心位置, 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,若固定的值而变化时, 则密度曲线的形状不变,它沿着x轴方向
7、平行移动,若固定的值而变化时， 则密度曲线的位置不变，而其形状将改变， 当大时曲线平缓，当小时曲线陡峭,正态分布 的分布函数,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布(Standard Normal Distribution),的性质 :,标准正态分布的重要性在于, 任何一个的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理1,证:,Z 的分布函数为:,则有:,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是:,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当 x
8、 0 时 ,表中给的是 x 0 时, (x)的值.,若,若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明,X的取值几乎全部集中在-3,3区间内, 超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,在统计学上称作“3 准则” .,N(0,1),X N(, 2) 时，,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,看一个应用正态分布的例子:,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,例:,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h .,设车门高度为h cm,按设计要求,因为 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得 (2.33)=0.99010.99,因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时， 可使男子与车门碰头机会 不超过0.01.,所以 .,
