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1、二项式定理例题讲解分 类 计 数 原 理分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+mn种方法。 做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 mn种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列 组合 从n个不同的元素中取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。 从n
2、个不同的元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。 排列数 组合数 从n个不同的元素中取m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm 从n个不同的元素中取m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm 选排列数 全排列数 二项式定理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 例1
3、试求：（1）(x3)5的展开式中x5的系数；（2）(2x2)6的展开式中的常数项；（3）(x1)9的展开式中系数最大的项；（4）在的展开式中，系数为有理数的项的个数解：（1）Tr1依题意155r5，解得r2故(2)240为所求x5的系数（2）Tr1(2x2)6 r(1)r26 r依题意123r0，解得r4故2260为所求的常数项（3）Tr1，而(1)41，(1)5-1 T5126x5是所求系数最大的项（4）Tr1,要使x的系数为有理数，指数50与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r6k（kZ），又06k100，解得0k16（kZ）x的系数为有理数的项共有17项评述 求二项展开式中具有某特定性
4、质的项，关键是确定r的值或取值范围应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分例2试求：（1）(x2)10(x21)的展开式中x10的系数；（2）(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2的系数；（3）的展开式中的常数项.解：（1） (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展开式中x10的系数是1180179（2） (x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5所求展开式中x2的系数就是(x1)6的展开式中x3的系数-20（3） = 所求展开式中的常数项是-20评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为
5、简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征例3（1）已知(1x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；（2）已知(ax1)7（a0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值；(3)已知(2x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值解：（1）依题意，即7n由于nN，整理得n23n400，解得n8(2) 依题意由于a0，整理得5a210a30，解得a1（3）依题意T51120，整理得x4(1lgx)1，两边取对数，得lg2xlgx0，解得lgx0或lgx1x1或x评述 (ab)n的展开式及
6、其通项公式是a，b，n，r，Tr1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数例4（1）若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4则(a0a2a4)2(a1a3)2的值等于 ；（2）12 解（1）令x1，得a0a1a2a3a4()4，令x-1，得a0-a1a2-a3a4，由此可得(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)( a0a1a2a3a4)41（2）在(1x)10中，令x2，得12评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(ab)n为恒等式二项式定理练习题1在的展开式中，的系数为（ ） A B
7、 C D2 已知， 的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于（ ）A4 B9 C10 D113已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则n是（ ）A10 B11 C12 D1345310被8除的余数是（ ）A1B2C3D75 (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A1.23 B1.24 C1.33 D1.346二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A1 B2 C3 D47设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是（ ）A B1 C
8、2 D38在的展开式中的系数为（ ）A4 B5 C6 D7 9展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ） A330 B462 C680 D79010的展开式中，的系数为（ ） A40 B10 C40 D4511二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在0，2内的值为（ ）A或 B或C或 D或12在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n5的（ ）A第2项 B第11项 C第20项 D第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.13展开式中的系
9、数是 .14若，则的值为_.15若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16对于二项式(1-x)，有下列四个命题：展开式中T= Cx；展开式中非常数项的系数和是1；展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1其中正确命题的序号是_（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列（） 求n的值；（）此展开式中是否有常数项，为什么？18（12分）已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数19（12分）是否存
10、在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由20（12分）某地现有耕地亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22（14分）规定，其中xR，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且mn）的一种推广(1) 求的值；(2) 设x，当x为何值时，取得最小值？(3) 组合数的两个性质；.是否都能推广到（xR，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.随着医学模式的转变，护理逐步确立了“以病人为中心”整体护理的理想观念，强调了人的“生理心理社会”的整体性，注重患者适应环境的能力，应用心理学知识与患者沟通交流，建立良好的护患关系，主动满足患者的心理需求
