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1、4.1 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式 五、不定积分的求法,前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。 例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻 的速度 ，要求物体的运动方程： 。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。,一、原函数与不定积分的概念,1.原函数： 设 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数 ，使对于该区间任意 ，都有关系式： 或 成立，则称函数 为函数 在该区间
2、上的一个原函数。,例,又因为：,所以显然 ， ， ， 都是 的一个原函数。, 由此不难得出：,（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。,（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。,（3）若 为 的一个原函数，则 表示 的所有原函数。,2. 不定积分的定义：,设 是 在区间I上的一个原函数，则函数 的全体原函数 （c为任意常数）,3.如何求不定积分,称为 在该区间I上的不定积分。,即：,例1,解：,例2,解：,求,因为,因为,例3,求,因为,结论,（3）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。,（1）求函数 的 不定积分就是求 的全体原
3、函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数 C 即可。,（2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。,二、不定积分的几何意义,如下图所示：,例4 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,三、不定积分的性质,定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即,定理2,定理3,积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。,四、基本积分公式,将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。,基本积分表 ,是常数);,基本积分表 ,1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）,解,根据幂函数的积分公式,例5 求下列函数的不定积分,（恒等变形法）,五、 不定积分的求法：,(1),解:,解:原式,例6 求下列函数的不定积分,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解：原 式,解：原 式,解：原 式,解,所求曲线方程为,3. 基本积分表；,5. 不定积分的（线性）性质；,1. 原函数的概念： ；,2. 不定积分的概念： ；,4. 求微分与求积分的互逆关系；,六、小结,6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。,
