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1、19不定积分解题技巧探讨数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s） 作者：方守强 指导老师：邓勇平【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。【关键词】 不
2、定积分；难度；典型；技巧引言数学分析是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。一:不定积分的概念与性质定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数
3、，并且对任意的xI，有则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得（xI）。定理2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为,即。其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量
4、，C称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常熟，则。附：常用积分公式（1）kdx=kx+C(k是常数)； （2）xdx=+C(u-1);（3）=ln+C； （4）=arctanx+C; (5) =arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C; (7) sinxdx=-cosx+C ; (8) =secxdx=tanx+C; (9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C; (13) adx= e+C;
5、 (14) shxdx=chx+C; (15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C; (17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C; (19) cscxdx=ln+C; (20) =+C; (21) =arcsin+C; (22) =ln(x+C; (23) =ln+C.二：求不定积分的方法及技巧小汇总(一):不定积分的直接积分法 一般地，我们把将被积函数进行适当的恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公式，求出不定积分的方法称为直接积分法。直接积分法是建立在不定积分线性运算法则（）和不定积分基本积分公式之上的，求解不定积分的一般思路是：先将
6、被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算，然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解。例 2.1 求不定积分：【解】 例 2.2 【解】例 2.3【解】= = (二):不定积分的换元积分法1:第一换元积分法（凑微分法）：令若已知，则有其中是可微函数，是任意常数。应用第一换元法应熟悉下列常见的微分变形。 、具体应用为 （1） = （2） ，、均为常数，且。例如：（3）为常数，（4）且；（5）（6）（7）（8）在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。例2.4：【解】例2.5：【解】例 2.6：【解】例2.7：计算，【解】 2第二换元积分法：设是单调、可导的函数，
7、并且具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：例2.8：【解】令，则例2.9：【解】令，则例2.10： 【解】 令则例2.11:求不定积分：【解】分析：对于例题2.11，若采用第二换元积分法，新得出的积分，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。令， .（三）分部积分法设是可微函数，且或有原函数，则有分部积分公式：或 当被积函数是两个函数的积的形式时，用以前学过的方法都不易计算，考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时，首先要将被积函数凑成或的形式，然后应用分部积分公式，或，再计算，即得到积分结果
8、。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做和。原则是：根据容易求出；要比原积分容易计算。分部积分法适用的情况是被积函数是由两个不同的函数组成，不便于进行换元的组合分成两部分进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。分为两种类型的分部积分法：“降幂”分部积分法和“升幂”分部积分法。1、“降幂”分部积分法一般地，对形如，当的不定积分不易求出时，可令其为，对求导达到降幂的目的。如是多项式函数，被积函数为：等，常令或或。这种方法称为“降幂”分部积分法。例2.12：【解】令 . 例2.13：.【解】 .例2.14：【解】 =变号移项并整理得到：2、“升幂”分部积分法一般地，对形如
9、，当的不定积分计算不易求出时，只好先求出的不定积分。令，如是多项式函数，被积函数为：等，常令或或。这种方法称为“升幂”分部积分法。例2.15：;【解】 例2.16： 【解】 例2.17：【解】观察被积函数，选取变换,则例2.18：【解】上面的例2.17，降低了多项式系数；例2.18，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：三： 有理函数的积分1、有理函数可分为如下三种类型：（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是比较容易计算的类型。（2）有理真分式：任何有理真分式都可通过待定系数法分解成下列四种类型的最简分式的代数和：其中为常
10、数，。（3）有理假分式；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）。综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简分式的积分，而前者是易于求得的，后者可通过凑微分法求出的结果。例3.1：【解】例3.2：求不定积分dx【解】用待定系数法作分解：上式两边消去分母得：1=A比较等式两边x的幂次得：A+B=0，-A+B+C=0，A+C=1解出 ，因此=四： 简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现和时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等
11、等。例4.1：求【解】令，于是，从而有=例4.2：求【解】注意，被积函数的定义域为，我们改写=令，于是，从而有其中，当x0时取正号，当x0时取负号。五： 三角函数有理式的积分万能公式：的积分，但由于计算较麻烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。例5.1：求【解】令，于是从而有=例5.2：求【解】改写令t=cosx，于是dt=,从而有=六：对于型积分，考虑的符号来确定取不同的变换。 如果，设方程两个实根为，令，可使上述积分有理化。如果，则方程没有实根，令，可使上述积分有理化。此种情况下，还可以设，至于采用哪种替换，具体问题具体分析。例6.1：求【解】
12、分成两项并按公式得 = =例6.2：求【解】令则从而有=七：求隐函数的不定积分当被积函数是隐函数时，为求不定积分，可引入新的参变量，将x，y都用参变量表示出来。求出关于参变量的不定积分后，再还原为x，y的函数即可。这时，一般地说，原函数也是隐函数。例：7.1若，求不定积分【解】令，由得 于是，当时及时，当时及时， 八：对的推广对于的不定积分，其中，为常数且m，n，不同时为零，我们也可以类似讨论其解法。若，n=0或m=0，为常数，则变得非常简单，在此就不再加以讨论。 若，a，b，中至少有一个不为，则=于是有 所以+.至此，还需要求不定积分的解，我们可以用万能代换法，将其化为有理不定积分的形式。令
13、，则，I=故I=.在这里我们需要讨论m，n，的情况.下面进行分类讨论：情况一：当c-m=0时，当n时， I=为常数)。此时，所求的不定积分为常数。当n=0,mc时，I=为常数此时，所求的不定积分为常数。当n=0，mc=0时与已知条件矛盾，在这里我们不予以讨论。情况二：当c-m时，令,则当时，(为常数)此时，所求的不定积分(为常数)。当时，(为常数)。此时，所求的不定积分(为常数)。当时，且为常数)则此时所求的不定积分(为常数) 总的来说，解不定积分的一般方法有三种，即直接积分法、换元法和分部积分法。这三种方法明确了不定积分解题的大致方向，是进行不定积分运算的基础。不定积分解题的技巧性和灵活性较强，积分方法类型多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改造和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。参考文献：1梅加强.数学分析.高等教育出版社，2011.07:130-133
