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1、一、三角形的有关概念1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接。2、有关概念及其表示方法如图所示 线段AB，BC，CA是三角形的边。点A,B,C是三角形的顶点。是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。顶点是A,B,C的三角形，记作ABC。读作“三角形ABC”。ABC的三边，有时也用a,b,c来表示。如图所示。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC
2、可用a表示.。 三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 直角三角形两个锐角互余。 斜三角形 2、按边分类。三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。即底边和腰相等的等腰三角形。按边分类: 不等边三角形 等腰三角形 三、三角形的三边关系对任意一个ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点的所有连线中，线段
3、最短“可得 AB+ACBC 同理有 AC+BCAB AB+BCAC 由式子我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边.注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。（3）这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数也可能是负数，一般取“差”的绝对值。（4）三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。已知两边求
4、第三边的取值范围，根据三角形的三边关系定理可知：四、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。2判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。3、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。3、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。4、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。例1.一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3（若三角形中含有其它三角形则不记入）（1）图2有_个三角形；图3中有_个三角形（2）按上面方法继续下去，第20
5、个图有_个三角形；第n个图中有_个三角形（用n的代数式表示结论）1如图，老师让同学们数一数图中所标字母构成的三 角形个数时下面4个学生回答正确的是A 4个 B 6个 C 8个 D 10个2、如图点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形?说明理由3、在直角ABC中，BAC90，如下图所示作BC边上的高，图中出现三个直角三角形（3211）；又作ABD中AB边上的高，这时图中便出现五个不同的直角三角形（5221）；按照同样的方法作、当作出时，图中共有多少个不同的直角三角形?例21ABC的三边a、b、c都是正整数且满足abc若b4，则这样的三角形共（）个。A4 B6 C8
6、 D102.各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（）A1个 B2个 C3个 D4个3三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，求最短边的长。1、 已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第 三边长x的取值范围是 若x 是奇数，则x的值 是 。这样的三角形有 个，若x是偶数，则x 的值是 。这样的三角形又有 个。周长的取值范 围是 2已知三角形三边的长分别为：5、9、a2，则a的取值范围 3五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以_个三角形4在ABC中，AB4a，BC14，AC3a则a的取值范围
7、是 ()Aa2 B2a14 C7a14 Da145已知：a、b、c是ABC三边长，且M(abc)(abc)(abc)，那么 ()AM0 BM0 CM0D不能确定6下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是Aa1，a2，a3（a0）B三线段比为4610C3cm，8cm，10cm D3a，5a，2a1（a0）7、ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB=80，BC=60，CD=40，AD=50，试问所需的木条长度至少要多长？8、有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米（即两脚着地时的间距有三米”。有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”
8、。你觉得小颖的话有道理吗？例3，已知a，b，c为ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.1 .a、b、c是三角形的三边长,试判断代数式(a-b-c)(a-b+c)的值与0 的大小关系,并说明理由.2、 的三边长，化简例3.如图,已知P是ABC内部的一点.(1)比较AB+AC与PB+PC的大小.(2) 比较PA+PB+PC与AB+BC+AC的大小.(3) 比较PA+PB+PC与 (AB+BC+AC)的大小.1、如图有四个村庄A、B、C、D现在要建造一个水塔P请回答水塔P应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由2、如图，已知ABC中，ABA
9、C，D在AC的延长线上求证：BDBCADAB3、如图，ABC中，D是AB上一点求证：（1）ABBCCA2CD； （2）AB2CDACBC例 4、用一条长为18的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍那么各边的长是多少（2）能围成有一边长为4的等腰三角形吗？为什么？1，如果一个等腰三角形的两已知边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为2等腰三角形的周长为14cm，腰长为xcm，则x的取值范围是_若周长为26，AB=6 它的腰长_ _3、2.如图,在ABC中,BC=BA,点D在AB上,且AC=CD=DB,则图中的等腰三角形有()4、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范
10、围是_;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_.5、等腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC为 6、把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.(1)求x的取值范围;(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.7.已知ABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程x+a2=x+1的解,求a的取值范围.8.在平面内,分别用3根、5根、6根火柴棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形呢?通过尝试,列表如下.火柴棒数356示意图形状等边三角形等腰三角形等边三角形问:(1)4根火柴棒能搭成三角形吗?(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几
11、种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.例5、ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.无法确定1.三角形的三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.三角形按边可分为()A.等腰三角形直角三角形锐角三角形B直角三角形不等边三角形C.等腰三角形、不等边三角形D.等腰三角形、等边三角形3.下列说法:等边三角形是等腰三角形;等腰三角形也可能是直角三角形;三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都
12、不相等的三角形;三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个例6.1、三角形三个内角中, 最多有_个直角,最多有_个钝角,最多有_个锐角,至少有_个锐角；2、如下几个图形是五角星和它的变形。图 中是一个五角星，求A+B+C+D+E。图中的点A向下移到BE上时（如图）五个角的和（即CAD+B+C+D+E）有无变化？说明你的结论的正确性。把图中的点C向上移动到BD上时（如图），五个角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有无变化？说明你的结论的正确性。 1、在ABC中1）若ABC=123，则ABC是_三角形2）若A+B=C，则ABC是_三角
13、形3）若A=B=C，则ABC是_三角形4） 若A=2B=3C，则ABC是_三角形5）若A=B=C，则ABC是_三角形6）在ABC中，若B=C=40，则A=_ 7）在ABC中ABC=90C=43，则A=_ .2、在ABC中AB30C4B，则C3.定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是A.ABC=123 B.A+B=CC.A=B=C D.A=2B=3C4、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D钝角或直角三角形5、在ABC中,若A+B=C,则此三角形为_三角形;若A+BC,则此三角形是_三角形.6、已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是 A锐角三角形 B.钝角三角形C直角三角形D等边三角形7、设,是某三角形的三个内角,则+,+,+ 中 A.有两个锐角一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角8、在等腰三角形中，顶角是500，则底角是_；若有一个角是70度，则另外两个角是_四、三角形的三条重要线段1、三
