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1、函数的极限(2),一 复习引入,提出问题,回忆当x、x、x时的函数极限是如何定义的我们可否用类似的思想和方法研究xx0时的函数极限,定义1: 一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a.,记作:,记作:,定义(2): 一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作:,如果,且,定义(3),对于常数函数f(x)=c(xR), 也有,1考察函数y=x2,当x无限趋近于2时,
2、函数的变化趋势,(1)图象,二 考察函数,比较特征,(2)列表,从表格上看: 表1说明,自变量x2趋近于2(x2-)时,y4,表2说明,自变量x2趋近于2(x2+)时,y4,从图象上看:自变量x从左侧趋近于2(即x2-)和从右侧趋近于2(即x2+)时,y都趋近于4,从差式|y4|看:差式的值变得任意小(无限接近于0),从任何一方面看,当x无限趋近于2时,函数yx2的 极限是4记作:,强调:x2,包括分别从左、右两侧趋近于2,即: “x2”是指以任何方式无限趋近于2,(分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2),2. 考察函数 (x1),当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数的变化趋势,(
3、1)图象 y=x+1 (xR,x1),(2)结论:自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近于1,函数 的值无限趋近于2.,强调:虽然在x1处没有定义,但仍有极限,3考察函数 ,当x无限趋近于0 时,函数的变化趋势?,(2) 结论: x从0的左边无限趋近于0时,y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时,y值无限趋近于1,(1)图象,此例与上两例不同,x从原点某一侧无限趋近于0,f(x)也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近于0,f(x)趋近的值不同,这时f(x)在x0处无极限,(1)请思考下面问题:当xx0时,yf(x)在xx0处有定义,是不是一定有极限?yf(x)在xx0处无定义
4、,是不是一定没有极限?,xx0包括两层意思:x从x0的左侧趋近于x0,即xx0-;x从x0的右侧趋近于x0,即xx0+是不是xx0-和xx0+时,f(x)会趋近于同一个常数?,(2) 归纳结果,得到:,三 整理提炼,明确概念,函数在一点处的极限与左、右极限的定义,函数在一点处的极限与左、右极限,1当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作 或当xx0时f(x)a。,2当x从点x0左侧(即xx0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作 。,3如
5、果当x从点x0右侧(即xx0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作 。,4常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 .,x无限趋近于常数x0,是指x从x0的左、右两侧无限地趋近于x0。,注意: (1) 中x无限趋近于x0,但不包含x=x0即xx0,所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关,而与函数f(x)在点x0的值无关(x0可以不属于f(x)的定义域),(2) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限, 而 、 都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限, 显然,例1 当x 时,写出下列函数的极限 y=x2 y=sinx y=x y=5,四 例析概念,深化理解,设C为常数,则,例2 写出下列函数当x0时的左右极限,哪些有极限? ,(1)函数f(x)在x=x0处的极限,左、右极限,极限与左右极限的关系,学会求一些简单函数的左右极限及极限。,五 比较概念,归纳小结,(2)我们已学过哪7种不同类型的极限?它们的共同之处是什么?用数学符号来表达各有什么不同?,六 课后探究,1.已知 ,求,2.已知函数 ,试求 (1)f(x)的定义域; (2)求 , ,并指出 是否存 在.,