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1、一元二次方程一元二次方程 1 （北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 2 （1）用含 p 的代数式表示 q； （2）求证：抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点； （3）设抛物线y1x 2pxq 的顶点为 M，与y轴的交点为 E，抛物线y2x 2pxq1 的 顶点为 N，与y轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值 2设关于 x 的方程 x 25xm 210 的两个实数根分别为 、，试确定实数 m 的取值范 围，使|6 成立 3 （湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根 （1）是否存在实
2、数 a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你 说明理由； （2）求使( x11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值 4 （江苏模拟）已知关于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且 x1x2 （1）求证：x11x2 （2）若点 A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，点 P（x1，x2）在ABC 的三条边上运动， 1 2 问是否存在这样的点 P，使 ab ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 5 4 由 5 （福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且 x1x20，x1x2 （1）求 b 的取值范围； （2
3、）否存在实数 b，使得 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 1 x1 1 x2 6 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 为实数，且满足 abc0，abc8，求 c 的取值 范围 7 （四川某校自主招生）已知实数 x、y满足 ，求 xy的取值范围 8 （福建某校自主招生）已知方程(ax 1) 2 a 2 (1 x 2)（a1）的两个实数根 x1、x2满足 x1x2，求证： 1x10x21 （答案） 1 （北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 2 （1）用含 p 的代数式表示 q； （2）求证：抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点； （3
4、）设抛物线y1x 2pxq 的顶点为 M，与y轴的交点为 E，抛物线y2x 2pxq1 的 顶点为 N，与y轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值 解：（1）关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 2 2 22pq10，整理得：q2p5 （2）p 24qp 24(2p5)p 28p20( p4) 24 无论 p 取任何实数，都有( p4) 20 无论 p 取任何实数，都有( p4) 240，0 抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点 （3）抛物线y1x 2pxq 与抛物线y2x 2pxq1 的对称轴相同， 都为直线 x ，且开口大小相同，抛物
5、线y2x 2pxq1 可由抛物 p 2 线y1x 2pxq 沿y轴方向向上平移一个单位得到 EFMN，EFMN1 四边形 FEMN 是平行四边形 由题意得 S四边形 FEMN EF| |2，即| |2 p 2 p 2 p4 2 （安徽某校自主招生）设关于 x 的方程 x 25xm 210 的两个实数根分别为 、，试 确定实数 m 的取值范围，使|6 成立 解：5 24(m 21)4m 221 不论 m 取何值，方程 x 25xm 210 都有两个不相等的实根 x 25xm 210，5，1m 2 |6， 2 22|36，即( )222|36 252(1m 2)2|1m 2|36 当 1m 20，
6、即1m1 时，2536 成立 1m1 当 1m 20，即 m1 或 m1 时，得 254(1m 2)36 解得 m m1 或 1m 综合、得： m 3 （湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根 （1）是否存在实数 a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你 N E F M x y y2 y1 说明理由； （2）求使( x11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值 解：（1）x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根 即 假设存在实数 a 使x1x1x24x2成立，则 4( x1x2)x1x20 4 0
7、，得 a24 2a a6 a a6 a24 满足 a0 且 a6 存在实数 a24，使x1x1x24x2成立 （2）( x11)( x21)( x1x2)x1x21 1 2a a6 a a6 a a6 要使( x11)( x21)为负整数，则只需 a 为 7，8，9，12 4 （江苏模拟）已知关于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且 x1x2 （1）求证：x11x2 （2）若点 A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，点 P（x1，x2）在ABC 的三条边上运动， 1 2 问是否存在这样的点 P，使 ab ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说
8、明理 5 4 由 解：（1）由根与系数的关系得：x1x2ab1，x1x2a ax1x2，bx1x2x1x21 b0，x1x2x1x210 1x1x2x1x20 (1x1)(1x2)0 又x1x2，1x10，1x20 即 x11，x21 x11x2 （2）x1x2ab1，ab ，x1x2 5 4 9 4 当点 P（x1，x2）在 BC 边上运动时 则 x11，x21 1 2 x1 x2 1 1 9 4 9 4 5 4 故在 BC 边上不存在满足条件的点 P 当点 P（x1，x2）在 AC 边上运动时 则 x11，1x22 取 x2 ，则 x1x2 ，即 ab 5 4 9 4 5 4 故在 AC
9、边上存在满足条件的点 P（1，） 5 4 O x y 1 1 2 C A B 当点 P（x1，x2）在 AB 边上运动时 则 x11，1x22，易知 x22x1 1 2 x1x2 ，x1 ，x2 9 4 3 4 3 2 又 1，1 2 1 2 3 4 3 2 故在 AB 边上存在满足条件的点（ ，） 3 4 3 2 综上所述，当点 P（x1，x2）在ABC 的三条边上运动时，在 BC 边上没有满足条件的点， 而在 AC、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，）和（ ，） 5 4 3 4 3 2 5 （福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且 x1x20，x1x2 （1）求 b 的取值
10、范围； （2）否存在实数 b，使得 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 1 x1 1 x2 解：（1）由已知得 4x(2xb)2，整理得 4x 2(4b4)xb 20 x1x2，0，即(4b4)216b 20，解得 b 1 2 又x1x20，0，b0 b 2 4 综上所述，b 且 b0 1 2 （2）x1x21b，x1x2， 1 得 b 2 4 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 4(1b) b 2 b 24b40，解得 b22 2 22 2(1) ，b22 不合题意，舍去 22 1 22 b22 2 6 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 为实数，且满足 abc0，abc
11、8，求 c 的取值 范围 解：abc0，abc8，a，b，c 都不为零，且 abc，ab 8 c a，b 是方程 x 2cx 0 的两个实数根 8 c c 24 0 8 c 当 c0 时，c 24 0 恒成立 8 c 当 c0 时，得 c 332，c 3 42 故 c 的取值范围是 c0 或 c 3 42 7 （四川某校自主招生）已知实数 x、y满足 ，求 xy的取值范围 解：(xy)20，x 2y 22xy 2(x 2y 2)(xy)2 2(4a 22a2)(3a1)2 即 a 22a30，解得1a3 xy (xy)2(x 2y 2) 1 2 (3a1)2(4a 22a2) 1 2 (5a
12、24a1) 1 2 (a)2 5 2 2 5 9 10 当 a 时，xy有最小值 ；当 a3 时有最大值 16 2 5 9 10 xy16 9 10 8 （福建某校自主招生）已知方程(ax 1) 2 a 2 (1 x 2)（a1）的两个实数根 x1、x2满足 x1x2，求证： 1x10x21 证明：将原方程整理，得 2a 2x 22ax1a 2 0 令y 2a 2x 22ax1a 2，由于 a1，所以这是一条开口向上的抛物线 当 x0 时，y 1 a 20，原方程有一个正根和一个负根 又x1x2，x10x2 又当 x1 时，y 2a 22a1a 2 (a 1) 20 当 x 1 时，y 2a 22a1a 2 (a 1) 20 1x10x21 Ox y -1 -1 x1x2
