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1、151、(1)设函数，求f(x)的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间上的单调性解：对称轴f(x)在递减，在递增证明：设任意，且=，即故f(x)在递减同理可证f(x)在递增151、(2)设函数 (2ba0),求f(x)的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间上的单调性解：f(x)在）递增，在递增证明：设任意，且，2ba0 ，即故f(x)在递增 同理可证f(x)在递增152、已知f(x)是定义在(0,)上的增函数，且，对x,y0都成立，若f(3)=1，（1）求f(9)的值； （2）解不等式解： 在中令得，故 （2）不等式就是因为f(x)是定义在(0,)上的增函数所以且即解得或对称轴f(x)在递
2、减，在递增153、设等比数列的前n项的和是,求证：证明：设等比数列的公比为 ，故154、已知，比较的大小解：故所以155、甲、乙两船上午八点整同时从某港口出发,甲船以25海里/时的速度向正东航行,乙船以15海里/时的速度沿南偏西30的方向航行,问上午几点钟两船的距离是70海里.解：两船分别到A,B，则AB=70海里OA=25t海里，OB=15t海里作交AO的延长线于点C在直角三角形BOC中，OAB25t海里15t海里南70海里30CCB=15t=，OC=15t=在直角三角形ABC中（+25t)2+()2=702 解得答：上午10点钟两船的距离是70海里.156、若（n属于正整数），那么的值是_
3、(竟赛)解：157、已知在范围内,求的范围解：0，1依题意0对0，1恒成立由于在0，1上递减所以158、, ,若有4个子集，求的范围解：因有4个子集故有2个元素方程组有两组不同的解由图象知当时符合条件159、已知，求证：解：因为x=1是方程0的根故，故得原式160、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元。而其他与速度无关的费用是每小时96元。问此轮船以何速度航行时，能使行使每公里的费用总和最小？解：设速度为x公里/小时，每小时的燃料费燃料费是Q元，每公里的费用总和为元则Q=因当t=10时Q=6故6=，Q= =(Q+96)= (+96)=
4、当且仅当即时上式取等号答：此轮船以公里/小时速度航行时，能使行使每公里的费用总和最小161、设，是公比不相等的两个等比数列，证明：数列不是等比数列。设，是公比分别为（则 故不是等比数列，因此数列不是等比数列。162、抗洪抢险中解放军战士穿的救生衣是用泡沫塑料(泡沫塑料的密度约为0.3乘10的三次方千克没立方米)制成的,使用时必须使人的头部露出水面(该部分体积约占人体总体积的十分之一)才有效.如果救生衣的体积为2.4乘10的负2立方米,则使用该救生衣的解放军战士最大质量不得超过多少啊?设人体的平均密度为1.06乘10的三次方克立方米解：解放军战士质量为m千克则x+，111.3163、f(1)=2
5、002，f(1)+f(2)+f(n) =，求f(2002)分析：这是一个数列问题f(1)+f(2)+.+f(n)是前n项和，f(n)就是解：当n1时f(1)+f(2)+.+f(n) =f(1)+f(2)+.+f(n-1)相减得f(n)-故，f(2002)2002164、要使函数在上y0恒成立，求a的取值范围。解：设，则在上y0恒成立就是在上y0恒成立，即的最大值165、被2整除余1,被5整除余2,被7整除余3,被9整除余4的正整数组成的集合是什么?（竟寒）解：利用中国剩余定理，找被5、7、9整除,被2整除余1的数，579=315找被2、7、9整除，被5除余1的数，279=126找被2、5、9整
6、除，被7除余1的数， 259(-1)=-90找被2、5、7整除，被9除余1的数， 2574=280于是所求的集合是166、已知，其中，当时，f(x)在（-，1）上有意义，求a的取值范围。(难题)解： ，对x（-，1恒成立在x（-，1上递故当x=1时取最小值在时恒成立，于是167、在三角形ABC中，若，则此三角形为直角三角形。若( n2,且)。问此三角形为何种三角形？(趣题) 解：因为（），递减由得因，故，三角形ABC为锐角三角形168、特征方程在数列方程、差分方程、微分方程中的对照(大学数学)例1、解齐次数列方程解：特征方程为得特征根故方程的通解为（与是两个任意常数）例2、解齐次差分方程解：特
7、征方程为得特征根通解为 （与是两个任意常数）例3、解齐次微分方程解：特征方程为得特征根故方程的通解为（与是两个任意常数）169、被2整除余1,被5整除余2,被7整除余3,被9整除余4的正整数组成的集合是什么?(竟寒)解（用一个土方法）9除余4最小正整数为4，4+若干个9结果仍被9除余44被7整除余4，9被7整除余2，4+9331被9整除余4，且被7除余331+若干个63结果仍被9除余4，且被7除余331被5整除余1，63被5整除余331+632157被9整除余4，被7除余3，且被5除余2显然157被2除余1故所求集合为170、参加数学课22人，物理18人，化学式16人，至少参加一种的有36人，
8、则三门都参加至多有多少人? (竟寒)解；设参加两种的分别有x人、y人、z人,三种都参加的t人则由容斥原理得3622+18+16-x-y-z+tx+y+z20+txt,yt,zt ，x+y+z3t，20+t3t，t10三项都参加的至多10人171、给出函数解：172、解：连立3(1/x)+5f(x)=2/x+1将x换为1/x，那就相当于括号里的x于2x+1中的x是相等的吗？f(3x-2)的定义域是0,1是，求f(x) f(3x-2)与f(x)中的x不相等3(1/x)+5f(x) x相等怎样判断括号里的x是否一样呢？+答：（1）函数关系讲的是函数y与自变量x的关系，yx2，y=3x+12, s=3
9、t+5都是函数关系注意在数学中不管什么函数习惯上自变量都是用字母x表示，函数都是用字母y表示,。能不能说函数yx2与函数y(x+1)2中的x是相同的呢？在函数yx2中自变量x也可以自由取值，在函数y(x+1)2中自变量x也可以自由取值，这两个函数的x的取值有各自的自由。（2）f是一个作用方法，比方说一个数在f的作用下，变成了这个数的平方，那么f(3)=329，f(4)=4216，f(x)=x2，f(t)=t2。在f(3)=329中，f是作用方法，3叫f的作用对象，9叫做3被f后的结果。从上面的式子容易知道，同一个f对不同的数的作用方法是相同的，作用的结果就不一定相同了。（3）我们可以用作用方法
10、f来表示函数关系。如果作用方法f，是把一个数变成这个数的2倍、那么f（x）2x，函数关系y2x就可以写成，y=f（x）,或者写成f（x）2x（4）关系f(x)=5x+9就是函数关系y=5x+9 关系f(x)=5x-9就是函数关系y=5x-9（5）如果作用方法f，是把一个数变成这个数的2倍、关系y=f(x) 就是函数关系y=2x关系y=f(x+2) 就是函数关系y=2(x+2)可见函数y=f(x)与函数y=f(x+2)是两个不同的函数，在这两个关系中的f，是相同的运算，在函数y=f(x)中自变量x可以自由取值，在函数y=f(x+2)中自变量x也可以自由取值，这两个函数的x的取值有各自的自由。但是
11、这两个函数的x的取值范围都受到f的限制，因此就有一定的联系。（6）如果f的作用范围是5，7，则函数y=f(x)中自变量x的范围也只能为5，7，因而函数y=f(x)的定义域就是5，7。然而函数y=f(x+2)中自变量x的范围就不是5，7了，这是因为受f作用的是x+2不是x，因此x+2的范围才是5，7，进而得出自变量x的范围是3，5，也就是说函数y=f(x+2) 的定义域就是3，5（7）由（6）可知函数y=f(x)的定义域与f的作用范围是一样的函数y=f(x+2) 的定义域与f的作用范围不一样，x+2的范围才是f的作用范围（8）例1、若y=f(x+4)的定义域为5，11，求y=f(x4)的定义域分
12、析：可以用f的作用范围过度。解：在y=f(x+4)中，5x119x+415因此在y=f(x)中，9x15。在y=f(x4)中9x41513x19所以y=f(x4)的定义域是13，19173、函数f(x)的定义域为0，1，则函数f(x-a)+f(x+a)(0a1/2)的定义域为_解：由于因些174、等边三角形ABC的边长为4,顶点A在坐标原点,y轴与BC边的垂直平分线重合,求A、B、C三点的坐标.(点B在点C左边)要过程(初中)解：有两种情况第一种情况，图1，在直角三角形ABD中，AB=4所以BD=2，AD= 因此B（-2，），直角三角形ABD中，BD=2。因此C（2，），第二种情况，图2同样得
13、到B（-2，-），C（2，-）讲评：写一点的坐标很重要！一点的横坐标就是横线长度添符号（正负号）纵坐标就是纵线长度添符号（正负号）看图3：B点的横线长是2，B点横方向为负，在2前面添负号就是B点的横坐标，因此B点的横坐标是-2，B点的纵线长是4，B点在纵方向为正，在4前面添正号就是B点的纵坐标，因此B点的纵坐标是4，总之B点的坐标是（-2，4）、同样的道理A 点的坐标是（3，5）175、已知某圆方程为x2+y2=4，为圆上两动点，M(,)为圆内一定点若四边形MAPB为矩形，求点的轨迹方程解：设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2),则x12+y124x22+y224 x1+x2x+1 y1+y2y+1(x-1)2+(y-1)2=(x1-1)2+(y1-1)2+(x2-1)2+(y2-1)2把代入式得x2+y2=6为所求的方程176、求值(竟赛)解：177、已知是正实数。求证：(竟赛)证明：-3-=()3()设,则设则故在上递增，因此，原不等式得证178、设已知椭圆，直线，P是上的一点，射线OP交椭圆与点R，有点Q在OP上，并且满足，当点P在直线上移动时，求Q的轨迹方程解：设,，则 分别在椭圆和直线上，把代入，并利用得（原点除外）为所求的方程179、已知 函数当成立时，求证 ：(高考难题)
