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1、 让学习成为一种习惯 数学组（帅）基本不等式教学目标1.掌握基本不等式的推导，理解这个基本不等式的几何意义，掌握基本不等式取等的条件2.运用基本不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题.3.通过对基本不等式的不同解释，渗透“转化”的数学思想，提高学生换个角度看问题的思维意识. 教学重点1.用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释.2.用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题.教学难点:基本不等式等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题. 教学过程一.基本不等式证明及几何意义例如对任意实数x，y，(x-y)20总是成立的，即x2-2xy+
2、y20，所以xy，当且仅当x=y时，等号成立，并进一步得 (a0，b0)，这是非常重要的一个不等式. 我们常把叫作正数a、b的算术平均数，把叫作正数a、b的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 成立的条件是a、b为正实数，等号成立的条件是当且仅当a、b相等. 接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究. 图1图2 如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？例1 设a，b均为正数，证明不等式:.下面给出这个不等式的一种几何解释.如图2
3、，设AC=a，CB=b，CDAB交O上半圆于D，过C作CEOD交OD于E，在RtOCD中，由射影定理，可知DC2=DEOD，即DE=. 由DCDE，得，当且仅当a=b时，等号成立.例2 已知x，y都是正数，求证:(1)2; (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.点评:不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.变式训练 已知a、b、c都是正实数，求证:(a+b)(b+c)(c+a)8ab.例3 若ab1，P=，Q=(lga+lgb)，R=lg，则( )A.RPQ B.PQR C.QPR D.PR0，b0)是解决最大(小)值问题的有力工具.引例：你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成
4、形状不同的矩形，如边长为4 cm的正方形;长5 cm宽3 cm的矩形;长6 cm宽2 cm的矩形，你会发现边长为4 cm的那个正方形的面积最大.在面积为16 cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm的那个正方形的周长最小.这表明，x，y都为正数时，下面的命题成立:(1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取得最大值;(2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值2.例1 设x，y为正实数，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy的最大值.点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意： “一正、二定、三相等”.变式训练 设0x2，求函数f(x)=的最大值，并求相应
5、的x值.试问0x时，原函数f(x)有没有最大值?0x1时，f(x)有没有最大值?若有，请你求出来;若没有，请你说明理由.例2 (1)已知x，求函数y=4x-2+的最大值;(2)已知a、b为实数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值.分析:(1)因为4x-50)，由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3，故ab9.例5 当x-1时，求函数f(x)=的值域.分析:本题解法常用方法有单调性，图像法，还有判别式法.利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错.本例用基本不等式法求值域的方法，既简单又不易出错.变式训练 （2007湖北八校）已知x1x2x3x2006=1
6、，且x1、x2、x3、x2006都是正数，则(1+x1)(1+x2) (1+x2006)的最小值是_.三. 基本不等式解决实际问题引例 已知a、bR，且a+b=1，求证:a2+b2=1.证明：a，b，两式相加得a.又已知a，则上述两不等式必同时取等号，即a=，b=.a2+b2=1.例1 如图3，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?图3解：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由“有可围36 m长网的材料”，得4x+6y=36，即2x+3y=18.设面积S=xy. 由于2x
7、+3y2=2， 所以218，得xy，即S，当且仅当2x=3y时，等号成立. 解方程组得答:每间虎笼设计长、宽分别为4.5 m和3 m时，可使面积最大. 例2 某人购买小汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少?解:设使用x年的平均费用为y万元，则y=3， 当且仅当=，即x=10时取等号.答:使用10年平均费用最少.变式训练 （2006天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最
8、小，则x=_吨.课堂小结在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”作业1.已知正数、满足，求的最小值2.已知，且。求的最大值及相应的值.3.（1）求的值域 （2）求函数的值域4.已知a，b为正实数，且的最小值为（ ）AB6C3D3+5.设若的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 6.直线l过点M(2，1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求AOB面积最小时l的方程.7.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y=(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内?地址：福田区龙溪花园/翠海花园/香荔会所（高级中学正西面） 电话：8293 0043 156 0231 6466
