第 41 讲： 期权 价值 评估方法 （ 一 ） 二叉树 模型 所谓二叉树 ，就是假设股价的未来走向有两种可能 ， 其实 教材 的例 8-10 就是 最简单的二叉树模型 —— 单期二叉树 ，单期是指 期权的有效期内 只 做一次股价 变动 的假设 然而 ，真实情况是 股价 每天都在变化 ， 单期二叉树的假设过于简单， 计算结果当然也不够精确因此 ， 我们可以 把 时间细分，多做几次股价变动的假设，形成 两期二叉树 和 多期二叉树 ，期数越多， 计算结果 越 精确 1、 两期二叉树 教材 例 8-11： 沿用例 8-10 的 数据， S0=50， X=52.08，现在 把 6 个月 分成两期，每期 3 个月 ，每期股价 的 变动有两种可能 ： 上升 22.56%或下降 18.4%，无风险报酬率为每 3 个月 1% 每期 的计算和例 8-10 完全一样 ，之前也论证过复制原理和风险中性原理等效，偷懒起见，我们就用简单点的风险中性原理 第 1 步 ：建立股价二叉树 上行乘数 u=1+22.56%=1.2256，下行乘数 d=1-18.4%=0.816 现在 第 1 期（ 3 个月） 第 2 期 （ 6 个月 ） S0=50 Su=50×1.2256=61.28 Suu=61.28×1.2256=75.1 Sd=50×0.816=40.8 Sud=61.28×0.816=50 或 Sdu=40.8×1.2256=50 Sdd=40.8×0.816=33.9 注意 ：下角标 表示 股价的升价，比如 Suu 表示第 1 期升 ，第 2 期 升 ； Sdu 表示第 1 期 升，第 2 期 降 ； Sdd 表示 第 1 期 降，第 2 期 降， 以此类推 。
第 2 步 ：建立期权二叉树 注意 ，股价二叉树是从前往后推 （从 第 0 期 算到最后 1 期 ），期权二叉树 是 从后往前推 （ 从最后 1 期 算回第 0 期 ） 第 2 期 的计算 现在 第 1 期（ 3 个月） 第 2 期 （ 6 个月 ） C0 Cuu=Max(Suu-X,0)=Max(75.1-52.08,0)=23.02 Cud(Cdu)= Max(Sud-X,0)=Max(50-52.08,0)=0 Cdd= Max(Sdd-X,0)=Max(33.9-52.08,0)=0 第 1 期 的计算 风险中性原理 隆重登场 1%=22.56%×上行概率 -18.4%×(1-上行概率 ) 上行概率 =0.47363， 下行概率 =1-0.47363=0.52637 现在 第 1 期（ 3 个月） 第 2 期 （ 6 个月 ） C0 Cu=(Cuu×0.47363+Cud×0.52637)/(1+1%) =(23.02×0.47363+0×0.52637)/(1+1%)=10.8 Cuu=23.02 Cd=(Cud×0.47363+Cdd×0.52637)/(1+1%) =(0×0.47363+0×0.52637)/(1+1%)=0 Cud=0 Cdd=0 第 0 期 （现在）的计算 C0 = (Cu×0.47363+Cd×0.52637)/(1+1%) = (10.8×0.47363+0×0.52637)/(1+1%)=5.06 大家 不难 发现 ，建立 两期期权 二叉树，就是对风险中性原理的两次应用。
计算结果 5.06 比 上 一讲 的 6.62 更 精确些 2、多期二叉树 讲到这儿 ，还有最后一个参数可能大家有些疑惑，那就是上行乘数 u 和下行乘数 d，这是 拍脑袋 拍出来的吗？ 当然不是啦 大家 想想 ，这两个参数反映 的 是股价 波动的幅度，在统计学中用标准差 （ σ） 表示 （第四章 讲投资组合 的 时候说过 ， 温故而知新 哦），因此， u 和 d 必然跟 σ有关系 𝐮 = 𝐞𝛔√𝐭 𝐝 = 𝟏𝐮 来看 教材的例 8-12： 沿用例 8-10 的 数据， S0=50， X=52.08， 把 6 个月 分为 6期 ，每期 1 个月 ， 股价 波动率（标准 差 ）为 0.4068， 年无风险报酬率为 4% 第 1 步 ：建立股价二叉树 u = eσ√t = e0.4068√1/12 = 𝟏.𝟏𝟐𝟒𝟔， d = 11.1246 = 𝟎.𝟖𝟖𝟗𝟐 e 是自然 常数 ， excel 和科学计算器 都有 t 是以年为单位的期权有效期 ， 比如 3 个月的 t=1/4， 6 个月 的 t=1/2 σ是 标的资产价格的标准差 ， 通过历史数据的统计 分析 得出 t和 σ在指数中 ， 说明时间越长 ， 价格波动越大 ， 标准 差 越大 ， 价格波动也越大，合情合理 d和 u互为倒数， 使得 股价波动不偏离中心线 S0 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 S0=50 Su=50×1.1246 =56.23 Su2=56.23×1.1246 =63.24 Su3=63.24×1.1246 =71.12 Su4=71.12×1.1246 =79.98 Su5=79.98×1.1246 =89.94 Su6=89.94×1.1246 =101.15 Sd=50×0.8892 =44.46 Sdu=44.46×1.1246 =50 Sdu2 =50×1.1246 =56.23 Sdu3 =56.23×1.1246 =63.24 Sdu4 =63.24×1.1246 =71.12 Sdu5 =71.12×1.1246 =79.98 Sd2=44.46×0.8892 =39.53 Sd2u =39.53×1.1246 =44.46 Sd2u2 =44.46×1.1246 =50 Sd2u3 =50×1.1246 =56.23 Sd2u4 =56.23×1.1246 =63.24 Sd3=39.53×0.8892 =35.15 Sd3u =35.15×1.1246 =39.53 Sd3u2 =39.53×1.1246 =44.46 Sd3u3 =44.46×1.1246 =50 Sd4=35.15×0.8892 =31.26 Sd4u =31.26×1.1246 =35.15 Sd4u2 =35.15×1.1246 =39.53 Sd5=31.26×0.8892 =27.8 Sd5u =27.8×1.1246 =31.26 Sd6=27.8×0.8892 =24.72 计算说明 ：横向乘上行乘数， 斜向 乘下行乘数。
×1.1246 ×0.8892 下角标 u、 d 表示上行和下行的次数，比如 ， Su6 表示连续 6 次 上行， Sd6 表示 连续 6 次 下行， Sd2u 表示下行 2 次 ，上行 1 次， 以此类推 第 2 步 ：建立 期权二叉树 再次 强调，期权要 从最后 1 期 算回第 0 期 第 6 期 的计算 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 Cu6 = Max(Su6-X, 0) = Max(101.15-52.08, 0) = 49.07 Cdu5 = Max(Sdu5-X, 0) = Max(79.98-52.08, 0) = 27.9 Cd2u4 = Max(Sd2u4-X, 0) = Max(63.24-52.08, 0) = 11.16 Cd3u3 = Max(Sd3u3-X, 0) = Max(50-52.08, 0) = 0 Cd4u2 = Max(Sd4u2-X, 0) = Max(39.53-52.08, 0) = 0 Cd5u = Max(Sd5u-X, 0) = Max(31.26-52.08, 0) = 0 Cd6 = Max(Sd6-X, 0) = Max(24.72-52.08, 0) = 0 第 5 期 的计算 4%/12=(1.1246-1)×上行概率 -(1-0.8892)×(1-上行概率 ) 上行概率 =0.4848， 下行概率 =1-0.4848=0.5152 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 (49.07×0.4848+27.9×0.5152)/(1+4%/12)=38.04 49.07 (27.9×0.4848+11.16×0.5152)/(1+4%/12)=19.21 27.9 (11.16×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=5.39 11.16 (0×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=0 0 0（同上 ） 0 0（同上 ） 0 0 第 4 期 的计算 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 (38.04×0.4848+19.21×0.5152)/(1+4%/12)=28.24 38.04 49.07 (19.21×0.4848+5.39×0.5152)/(1+4%/12)=12.05 19.21 27.9 (5.39×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=2.61 5.39 11.16 (0×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=0 0 0 0（同上 ） 0 0 0 0 0 第 3 期 的计算 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 (28.24×0.4848+12.05×0.5152)/(1+4%/12)=19.84 28.24 38.04 49.07 (12.05×0.4848+2.61×0.5152)/(1+4%/12)=7.16 12.05 19.21 27.9 (2.61×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=1.26 2.61 5.39 11.16 (0×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第 2 期 的计算 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 (19.84×0.4848+7.16×0.5152)/(1+4%/12)=13.26 19.84 28.24 38.04 49.07 (7.16×0.4848+1.26×0.5152)/(1+4%/12)=4.11 7.16 12.05 19.21 27.9 (1.26×0.4848+0×0.5152)/(1+4%/12)=0.61 1.26 2.61 5.39 11.16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第 1 期 的计算 现在 第 1 期 第 2 期 第 3 期 第 4 期 第 5 期 第 6 期 C0 (13.26×0.4848+4.11×0.5152)/(1+4%/12)=8.52 13.26 19.84 28.24 38.04 49.07 (4.11×0.4848+0.61×0.5152)/(1+4%/12)=2.3 4.11 7.16 12.05 19.21 27.9 0.61 1.26 2.61 5.39 11.16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第 0 期 （现在）的计算 C0 = (8.52×0.47363+2.3×0.52637)/(1+4%/12) = 5.30 跟 两期二叉树相比， 虽然 计算复杂了，但结果又精确了一些。
当然 ，考试不 会这么变态 考 6 期 ， 从往年 情况来看，最多考两期如果大家对多期二叉树的计算感兴趣， 建议使用 excel， show 给大家看 啊 这一讲 的内容就这些， 大家。