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1、第二章 二次函数,第4节 二次函数的应用,第1课时 利用二次函数解决几 何面积的最值问题,1,课堂讲解,二次函数的最值 几何面积的最值,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,1,知识点,二次函数的最值,1当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处 取得最值即当x 时，y最值 . 当a0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大 值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时不存在 最小值,知1讲,知1讲,2. 当自变量的取值范围是x1xx2时，(1)若在自变量的取值范 围x1xx2内，最大值与最小值同时存在，如图，当a0时， 最小值在x 处取得，最大值为函数在xx1，xx2时的 较大的函数值；
2、当a0时， 最大值在x 处取得， 最小值为函数在xx1， xx2时的较小的函数值；,知1讲,（来自点拨）,(2)若 不在自变量的取值范围x1xx2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在xx1，xx2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图.,知1讲,（来自点拨）,3. 易错警示： 当二次函数自变量的取值范围是全体实数时，最值是 最大值还是最小值要根据二次项系数a的正负来确定， 当a0时，为最小值，当a0时，为最大值,导引：先求出抛物线yx22x3的顶点坐标，然后 看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值 范围内，根据不同情况求解，也可画出图象， 利用图象求解,例1 分别在下列范
3、围内求函数yx22x3的最值： (1)0x2；(2)2x3.,知1讲,解：yx22x3(x1)24， 图象的顶点坐标为(1，4) (1)x1在0x2范围内，且a10， 当x1时，y有最小值，y最小值4. x1是0x2范围的中点，在直线x1两侧的 图象左右对称，端点处取不到， 不存在最大值,知1讲,知1讲,（来自点拨）,(2)x1不在2x3范围内(如图)， 而函数yx22x3(2x3)的图象是抛物线 yx22x3的一部分，且当2x3时， y随x的增大而增大， 当x3时， y最大值322330； 当x2时， y最小值222233.,总 结,知1讲,（来自点拨）,求函数在自变量某一取值范围内的最值，
4、可 根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象， 借助于图象的直观性求解,1 二次函数yx24xc的最小值为0，则c的值 为( ) A2 B4 C4 D16 2 已知x2y3，当1x2时，y的最小值是( ) A1 B2 C. D3,知1练,（来自典中点）,3 已知yx(x3a)1是关于x的二次函数，当x 的取值范围在1x5时，若y在x1时取得最大值， 则实数a的取值情况是( ) Aa9 Ba5 Ca9 Da5 4 二次函数y2x26x1，当0x5时，y的取值范 围是_,知1练,（来自典中点）,2,知识点,几何面积的最值,知2导,如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在
5、两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB=xm， 那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2，当x 取何值时，y的值最大？ 最大值是多少？,问 题,知2讲,1利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤： (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相 关的量； (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且 用函数表示这个面积； (4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值 2易错警示：实际问题中的最大(小)值未必就是抛物线 的顶点的纵坐标最大(小)值的取舍要结合自变量的 取值范围,（来自点拨）,知2讲,例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分
6、是半圆， 下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所 有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通 过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的 面积是多少？（结果精确到0.01m2）,知2讲,解： 7x+4y+x=15, 设窗户的面积是Sm2,则S= x2+2xy 当x= 1.07 时，S最大 = 4.02. 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为 4.02 m2.,（来自教材）,知2讲,例3 如图，已知ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80 cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四 边形BDEF为平行四边形，设BD x(
7、cm)，SBDEFy(cm2)，求： (1)y与x之间的函数关系式 (2)自变量x的取值范围 (3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？,导引：(1)可分别设出DCE的边CD上的高和ABC的边BC 上的高，根据条件求出ABC的边BC上的高，再利用 相似找出其他等量关系，然后设法用x表示BDEF的边 BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据 x的取值范围及求最值的方法解题,知2讲,解：(1)设DCE的边CD上的高为h cm，ABC的边BC上的 高为b cm，则有SBDEFxh(cm2) SABC BCb， 2 400 80b.b60. 四边形BDEF为平行四边形， DE
8、AB.EDCABC. yx x260x，即y x260x.,（来自点拨）,知2讲,(2)自变量x的取值范围是0x80. (3)由(1)可得y (x40)21 200. a 0，0x80， 当x40时，y取得最大值，最大值是1 200.,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出 各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y 与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次 函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求 出最大面积,知2讲,例4 实际应用题，易错题张大伯准备用一面长15 m的墙 和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD
9、， 并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门 (1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长 x(m)之间的函数关系式 (2)当BC边的长为多少时，养殖场的 面积最大？最大面积是多少？,导引：由BC边的长和栅栏的总长可以表示出AB的长，故可求 养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次 函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的 最大面积,知2讲,解：(1)由题意得，AB m， yx x x220x. 由题意知 0x15.y x220x，其中0x15.,（来自点拨）,知2讲,(2)y x220x (x240x) (x20)2200. a 0，0x15，y随x的增大而增大 当x15时，y最大
10、 (1520)2200187.5. 答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面 积是187.5 m2.,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函 数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求 出其最值,1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为( ) A25 cm2 B50 cm2 C100 cm2 D不确定 2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a的值不可能为( ) A20 B40 C100 D120,知2练,（来自典中点）,3 如图，在矩形ABCD中，AD1，AB2，
11、从较短 边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们 的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面 积之和最小时，点E应选在( ) AAD的中点 BAEED( 1)2 CAEED 1 DAEED( 1)2,知2练,（来自典中点）,4 (2016内江)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个 矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成，已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗 圃园垂直于墙的一边的长为x m. (1)若苗圃园的面积为72 m2，求x. (2)若平行于墙的一边长不小于8 m， 这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有, 求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由 (3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时，直接写出 x的取值范围,知2练,（来自典中点）,利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数 应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助 已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达 式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解 决问题,1.必做: 完成教材P47习题2.8T1、2 2.补充: 请完成典中点剩余部分习题,
