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1、中考冲刺数学专题7探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概
2、括及发散思维的能力及创新意识。【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题1 如图，在中，把边长分别为,，的个正方形依次放入中，请回答下列问题：ABC（1）按要求填表：123（2）第个正方形的边长 ；解答：如图，设，则，相当于搞清楚第一项；由,得，而，ABC 解得即；完全类似地可得。搞清楚了递推关系。把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。（1）依次应填； （2）例题2（2010山东济宁）观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .解答：（1）（2）证明：.（3）原式1 .例题3 如图，
3、下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：所以 第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个.例题4 探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。（1）观察图形，填写下表：钉子数值22+32+3+（ ）（ ）（
4、2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。解答：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长（第一层归纳）；时比时多出3个种数；时比时多出4个种数;时比时多出个种数;-(第二层归纳). 有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;(2) 的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;(3).归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本
5、题体现得比较充分.类型二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式例题5 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线之间把绳子再剪次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是（ ）A、B、 C、 D、解答：我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：即。本题要求的是“剪次”，实际上是序号所对应的图，其中绳子的段数应为。
6、答：应选A。说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪刀则是第个图，二者不应弄混。 当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数”与绳子段数之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）仍借助于待定系数法求出函数关系式,最后的结果是一样的.例题6 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）。解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），序数（自变量）每增大1，对应的函数值就增大3。因此，它们就应当成一
7、次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。设，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：答： 说明：就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例题7 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,，则第个图形中，其有 个六边形。解答：图形序号与图形中正六边形的个数满足（1，1），（2，4），（3，7），每增大1，就增大3，可知是的一次函数，
8、用待定系数法（略）求得类型三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式例题8（2010 贵州贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，（1）写出点M5的坐标；（2）求的周长；（3）我们规定：把点（0,1,2,3）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来（4分） 解答：（1）M5（4，4）（2）由规律可知，,， 的周长是（3）解法一：由题意知，旋转8次之后
9、回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,，即：点的“绝对坐标”为（）。 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,，即：点的“绝对坐标”为。 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,，即：的“绝对坐标”为。解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：当时（其
10、中=0，1，2，3，），点在轴上，则（）当时（其中=1，2，3，），点在轴上，点（）当=1，2，3，时，点在各象限的分角线上，则点（）例题9 如图，已知的面积。（1）在图（1）中，若则；（2）在图（2）中，若，则A（3）在图（3）中，若则；按此规律，若，则 。ABCAABCBCAA（1）（2）（3）解答：其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算的面积即可，实际上表示边上的高）边AB上的高）同理，均等于，得。例题10（2010广东中山）阅读下列材料：，由以上三个等式相加，可得读完以上材料，请你计算下列各题：（1）（写出过程）；（2）= ；（3）= 解答：（1）=+=440（2）（3）=+=
11、1260【技巧提炼】规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件, 解答这类问题的关键是认真审题,掌握规律,合理推测,认真验证,从而得出问题的正确结论.研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：1、以归纳概括为指导的思考方法；这类问题思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。2、以函数思想为指导的方法；这类问题的思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。3、
12、以直接计算为指导的方法。这类问题的思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。【体验中考】1（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）（A）15 （B）25 （C）55 （D）12252世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）A、 B、 C、 D、仔细分析与研究后可以发现：（1
13、）每一行左数从第一个数为该行的倒数；（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为3（2010安徽中考）下面两个多位数、，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）（A）495 B）497 C）501 D）5034（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子第2个“口”第1个“口”第3个“口”第n个“口”？A4n枚 B(4n-4)枚 C(4n+4)枚 D n2枚5（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，A2 B4 C6 D86（2010江苏淮安）观察下列各式：计算：3(12+23+34+99100)= A979899 B9899100
