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1、线 性 代 数 张保田,第三节,1.3 行列式的性质,内 容,复 习,1.3 行列式的性质,行列式D中第i 行第j 列位置上的元素：,在DT中位于第j 行第i 列位置上：,为简化行列式的计算，下面讨论行列式的性质。,先看转置的行列式。,称行列式DT为D的转置行列式。,性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即,证明,对于D中的每一项：,也是DT中的一项（不算负号),其符号为：,所以， D= DT。,：行列式中的行与列具有相同的地位。 行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.,积,性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.,证明 设n阶行列式,i行,j行,积,既是D中的项，也,【完】,是 D1中
2、的项（不算符号）,而该项在D中符号为：,所以， D= D1,在D1中符号为：,【完】,（1）交换 i，j两行（列）记为,（2）主要用途在于化简：,如,推论1 若行列式中有两行（列）的对应元素相同， 则此行列式,【完】,【？】,为零。,性质3 用数k乘行列式D的某一行（列），等于 用数k乘此行列式。即：,证明,（1）第i行(列)乘以k，记为,（2）从左到右：行列式中一行（列）的公因式可提到行列式外； 从右到左：用数k乘行列式的一行(列), 等于用 k 乘此行列式。,推论2 行列式的某一行(列)中所有元素全为零，则行列式,问：若n阶行列式D中零元素的个数多余,个，则D？,【0】,推论3 行列式中若
3、有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.,例如，,【因为第一列与第二 列对 应元素成比例】,为零。,解,例1 设,证明 设,则,有,例2 证明: 奇数阶反对称行列式的值为零。,由,所以，当n为奇数时，,性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则该行列式等于两个行列式之和，即,i行,证明, 上述结果可推广到有限个和的情形。如：, 只限于行列式的一行(列)的元素都是两数之和。,一般来说下式是不成立的：,左=,= 右,【应等于？】,【四个行列式之和】,【完】,性质 5 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。即：,证明,由性质四，右=,右=
4、,【完】,=左, 以数k乘j行加到i行上，记为,以数k乘j列加到i列上，记为, 若行列式D中某一行元素是另外若干行对应元 素之和，则D？,【0】,如,【0】, 性质5将行列式化为三角行列式最有用。,如,1, 将行列式的其余各行同时加到某一行，行列式 的值不变。,例如计算,解 【注意到行列式中各行（列）4个数之和都为6】,再如,问：,（1）40,【完】,1,2,2,小结：1. 转置行列式，反对称行列式,下节课内容： 行列式的性质 作业：习题1.3,【完】,2. 行列式的性质15,3. 行列式为零的结论。,行列式的计算,1. 复习,2. 内容,第四节,一、n阶行列式的性质,性质1 行列式与它的转置
5、行列式相等.即 .,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式.,推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,二、行列式的值为零的性质（1）（6）,2. 一般行列式的计算，常用行列式的性质，把它化简 或化简后再化为三角行列式来计算。,3. 行列式的计算方法
6、多，技巧性大，要注意撑握基 本方法与基 本题型。,4. 数字行列式一般要化为上（下）三角行列式，基本原则是：, 由性质使左上角第一个数为“1”，且后续计算量小；, 依次使第一列第一个数、第二列第二个数、以下元数全为“0”，,5. 文字行列式，n阶行列式一般要分析清楚其结构，按类型来求解。,下面分别介绍常见行列式的类型与计算方法。,【完】,例1 计算行列式,解,练习,【完】,2. 某一行（列）加到其它各行（列）,例2 解方程,解 第一行的1倍加到其它各行，得,1,解得方程的n1个根为：,注：此题也可由观察得到 观察法（析因子法）,当x分别取 a1，a2，an-1时：,第2，3，n列与第一列成比例
7、，行列式 为零，方程有根：,又方程为 x的n1次多项式，最多有个n1根， 所以根为：,如计算行列式：,解,因为x=1时，第一、二两行相等,x=2时，第三，四两行相等,于是，四次多项式 Dk(x21)(x24),D=0,又因为D中 x4 的系数为5与,所以，D1(x21)(x24),【完】,（1）N（3214）4之和,3. 各行（列）都加到同一行（列）,如果行列式各行（列）元素之和都是常数， 则常用的方法是：, 将各行(列)均加到第一行（列）；, 第一行（列）提出公因式；, 将行列式化为三角行列式计算。,【如下例】,例3 计算,解 （1）,其它各行都加到第一行，提出公因式,第一行的（b）倍加到其
8、它各行，得,同加到1列,b,展开计算,同加到1行,y,x-y,完,如何计算：,4. 逐行（列）相加减,由上而下，由下而上；由左向右，由右向左,逐行（列）相加减计算行列式也是常用的方法。,例4 计算,解 (1),将第1列加至第2列，,然后第2列加至第3列，,，再将第n列加到第n1列，得：,(2),由上向下: 各行的（1） 倍加到下一行,例5 计算,解 从第4行开始，后一行减去前一行。,1,练习 （1）,解,三阶范德蒙行列式,解,三对角行列式一般用下节的展开、递推来计算，此类数字行列式化为三角行列式，较简单。,5. 箭形（爪）行列式,行列式中非零元的形状或化简后的形状为箭形。其解法如下例：,例6 计算,解,1,箭形,提a1,提a2,提a3,提an,提a1,提a2,提a3,提an,同加到第一列,i列不提ai,练习：,答案,1,按箭形行列式计算方法，得,【完】,6. 灵活,6. 灵活,例7 计算,解:,1,1,提a,提b,例8,计算n阶行列式,解,1,两列成比例,所以,？,1.计算行列式,2. 计算行列式,【第一列的（1）倍加到第二列】,小结：1. 数字行列式的计算； 2. 文字行列式的计算。 下节介绍行列式的降阶计算,下节课内容： 按一行（列）展开计算行列式。,作业：,完,
