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1、江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用交集定义直接求解【详解】集合，故答案为：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2.设i是虚数单位，复数的模为1，则正数的值为_【答案】【解析】【分析】先化简复数，再解方程即得解.【详解】由题得，因为复数z的模为1，所以，解之得正数a故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战
2、士的体重情况，采用随机抽样的方法将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为所以全团抽取的人数为：48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_ 【答案】4【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.设1，1，2，2，记
3、“以(x，y)为坐标点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为_【答案】1【解析】【分析】利用几何概型的概率公式求事件A发生的概率.【详解】由题得1，1，2，2，对应的区域是长方形，其面积为.设事件A发生的概率为P，故P1故答案为：1【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若ab且，则A_【答案】【解析】【分析】由题得sinBcosC，再求A的大小.【详解】因为，所以，则sinBcosC，由ab，则B，C都是锐角，则BC，所以A故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解
4、三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知等比数列满足，且，则_【答案】8【解析】【分析】先求出的值，再求的值.【详解】，则2故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数，若，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】解方程即得a的值.【详解】 ，因所以解得a故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是
5、cm。【答案】4【解析】试题分析：设球半径为r，则由可得，解得考点：1组合几何体的面积、体积【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：(ab0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为_【答案】【解析】【分析】设点B为椭圆的左顶点，由题得，化简即得解.【详解】设点B为椭圆的左顶点，由题意知AMBQ，且AMBQ,，则求得a3c，即e故答案为：【点睛】本题主要考查
6、椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.设函数，若，且，则的取值范围是_【答案】(，)【解析】【分析】不妨设，则，再根据函数的图像分析可得解.【详解】不妨设，则，由图可知故答案为：(，)【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x5上的一个动点，且满足APBP，则点P的纵坐标取值范围是_【答案】2，6【解析】【分析】由题分析可得CPA最大为45，即sinCPA，解不等式即得解.【详解】要使APBP，即APB的最大值要大于或等于90，显然当PA切圆C于点
7、A，PB切圆C于点B时，APB最大，此时CPA最大为45，则sinCPA，即，设点P(5，)，则，解得26故答案为：2，6【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，则的最小值为_【答案】5【解析】【分析】设圆心为O,AB中点为D,先求出，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得.取AC中点M，由题得,两方程平方相减得，要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=,所以PM有最小值为2，代入求得的最小值为5故答案为：5【点睛】本题
8、主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是_【答案】【解析】【分析】设，求出函数的单调区间得到，再由题求出，再利用二次函数的图像和性质求的最小值.【详解】设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+），减区间为(-,0),所以，即；可知，当且仅当时取等；因为所以，所以，解得，当且仅当时，取等号故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题（本大题共6小题，共计90分
9、，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题得，再求的值；（2）若，得，解方程即得解.【详解】(1)因为，所以，于是；当时， ，与矛盾，所以，故，所以(2)由知， ，即，从而，即，于是又由知，所以或，因此或.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和求值，考查三角方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD平面ABCD，PBPD，PAPC，CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM（1
10、）求证：OM平面PAD；（2）求证：OM平面PCD【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结AC,先证明，再证明平面；（2）连结PO，先证明和，再证明平面.【详解】(1)连结AC,在平行四边形中，因为是D中点，所以是AC中点又M为中点，所以.又平面平面，所以平面.(2)连结PO，因为且O是BD中点，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.又， ， 平面，平面，所以平面.又平面，所以.在平面中，由(1)得，又，所以又，平面，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素平行和垂直位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.已
11、知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.【详解】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线的方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程
12、的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE（1）当60时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，DEAC，DFAB，四边形是平行四边形，和均为边长为的等边三角形，再求绿化面积；（2）先求出，再求地块的绿化面积的取值范围【详解】(1)当时，DEAC，DFAB，四边形是
13、平行四边形，和均为边长为的等边三角形，面积都是，所以绿化面积为.（2）由题意知，在中，由正弦定理是，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以.所以，当，所以.答:地块的绿化面积的取值范围是.【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为.若，且存在不小于3的正整数，使得.（1）若，求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，是否存在整数，使得，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）存在满足题意。【解析】【分析】(1)令n=3即得的值；（2）利用等差数列的中项公式证明数列为等差数列；（3）化简得，再分析得到.【详解】（1）当时，因为，所以.（2）由，得，两式相减，得，即，所以.两式相减，得，所以数列为等差数列.（3）依题意：，由得：，即，所以.因为，且，所以，又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，所以.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列和等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”.（1）试判断与是否是一对“函数”；（2）若与是一对“函数”.求
