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1、2 多元函数的极值 1 2 无条件极值 条件最值 3 闭区域最值 2-1 多元函数极值 1 2 3 定义 必要条件 充分条件 4 驻点 2-1-1 定义 一 元一 元 函 数极值极值 一 元一 元 函 数拐点拐点 多 元多 元 函 数极值极值 必要条件必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 设点 00 ,xf x为曲线 yf x的拐点，且 fx存在，则 0 =0fx 多元函数 极值 充分条件充分条件 一元 函数 极值 一元 函数 拐点 充分条件 1：设 f x在 0 x处连续，在 0 x的某去心领域内二阶可导，并且在 0 xx的左、右 领域 fx异号，则点 00 ,xf x是曲线 yf x的
2、拐点. 充分条件 2：设 f x在 00 ,xx二阶可导，若 0 =0fx，且 0 0fx， 则点 00 ,xf x是曲线 yf x的拐点. 多元 函数 极值 驻点驻点 一元 函数 极值 多元 函数 极值 一元一元函数可能极值点可能极值点 一元函数驻点或不可导点一元函数驻点或不可导点 一元一元函数可能拐点可能拐点 一元函数二阶导为一元函数二阶导为 0 0 点或二阶导不存在点点或二阶导不存在点 多元多元函数可能可能极值极值点点 多元函数驻点或不可偏导点 一般求解流程一般求解流程 无条 件极 值 1 2 3 4 第 步：写出定义域； 第 步：求出驻点及不可导点； 第 步：用“充分定理”判别； 第
3、步：代入极值点，得出极值. 条件 最值 1 2 3 第 步：写出定义域； 第 步：运用拉格朗日乘数法或者转化为无条件极值求可能最值点； 第 步：比较端点、可能极值点的函数值大小，得到最值. 闭区 域最 值 第 1 步：在D区域内部对目标函数，按求无条件极值的方法，求可能最值点； 第 2 步：在D边界上对目标函数，按求条件最值的方法，求可能最值点； 第 3 步：比较所有可能最值点及端点（如果有的话）的值，得到最值 重点（重点（2003 2003 数三）数三）设可微函数,f x y在点 00 ,xy取得极小值，则下列结论正确的是 （A） 0, f xy在 0 yy处的导数等于 0 （B） 0, f
4、 xy在 0 yy处的导数大于 0 （C） 0, f xy在 0 yy处的导数小于 0 （D） 0, f xy在 0 yy处的导数不存在 方法 1:二元函数极值的定义: 1）如图，在 00 ,xy处取极值，是在 00 ,xy的周围都有 00 ,f x yf xy或 00 ,f x yf xy； 2） 00 ,xy的周围是个区域，包含曲线 0y M T（它的方程是 0, f xy）在点 00 ,xy附近的点，所以对于曲 线 0y M T来说，仍会在 00 ,xy处取极值； 3）,f x y可微，所以偏导 , , f x yf x y xy 存在； 4） 0, f xy是一元函数，由极值的必要条件
5、知 0 0 , =0 x x y y f x y y ，而 00 0 0, , =0 y yx x y y df xyf x y dyy 当然如果蒙猜也该是（A） 方法 2：对 0 0 , x x y y f x y y 的理解. 先求 ,f x y y ，再将点 00 ,xy代入，这个方法不能帮助解题； 求 ,f x y y 是将x看做常数，所以先将 0 xx代入,f x y得 0, f xy，则 00 0 0 , = x xy y y y f x ydf xy ydy ，对应本题， 0 0, 0 y y df xy dy 重点（重点（2013 2013 数一）数一）求函数 3 , 3 x
6、y x f x yye 的极值. 注：二元显函数求无条件极值注：二元显函数求无条件极值 注：“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！ 对于 2 1, 3 1 3 Ae ， 1 3 Be ， 1 3 Ce 2 0ACB 2 1, 3 不是极值点 重点（重点（2004 2004 数一）数一）设,zz x y是由 222 6102180xxyyyzz确定的函数，求 ,zz x y 的极值点和极值. 注：二元隐函数求无条件极值 注：三个方程解三个未知数，偏导数为 0 只引出 2 个方程，第 3 个方程是原方程. 注：1）“求一阶偏导时的公式法” ，把, ,x y z都看作自变量；都看作自变量；
7、 2）为求二阶偏导，需要对一阶偏导求导，这一步是全新的一步，已经与“求 一阶偏导时的公式法”没有关系了，不要受公式法的影响，将, zz xy 中的 z看作自变量，此时的z是,z x y的缩写，可以对, x y求导. 3）“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！ 对于9, 3点 1 6 A ， 1 2 B ， 5 3 C 2 0ACB且0A 9, 33f 是极大值点 重点 （重点 （2015 2015 数二）数二） 已知函数,f x y满足 2 ,=21,0 =1,0,2 xx xyx fx yyefxxefyyy ， 求,f x y的极值. 重点（重点（2008 2008 数二）数二）
8、求函数 222 uxyz在约束条件 22 zxy和4xyz下的最大和最 小值. 注：1）观察方程；将方程中 x x 换成换成 y y，y y 换成换成 x x，得到了两个新的方程 220 220 yy xx ；新方程与原方程一样新方程与原方程一样，我们称方程关于 x,y 具有 轮换对称性轮换对称性. 2）关于 x,y 具有轮换对称性的方程轮换对称性的方程，一定存在一个解xy，但是不能 说xy求得的解是唯一解.所以由方程直接推出直接推出xy可能漏解可能漏解. 3）具有轮换对称性的方程如何处理？作减法！具有轮换对称性的方程如何处理？作减法！ 注：答题时可以直接写注：答题时可以直接写出方程组的解，不
9、必写求解过程出方程组的解，不必写求解过程. . 重点（重点（2015 2015 数一）数一）已知函数,f x yxyxy，曲线 C： 22 =3xyxy，求,f x y在曲线 C 上的 最大方向导数. 注：方向导数是数一考点，数二数三只需关注方程求解注：方向导数是数一考点，数二数三只需关注方程求解 注： 二元函数在任意一点注： 二元函数在任意一点, x y的最大方向导数是的最大方向导数是 2 2 ff xy ， 而本题的点， 而本题的点, x y 来自于曲线来自于曲线 CC 上，满足曲线上，满足曲线 CC 的方程；曲线的方程；曲线 CC 的方程即条件函数的方程即条件函数 注：方程注：方程关于关
10、于 x x,y,y 具有轮换对称具有轮换对称 性性，作减法后不止作减法后不止xy能求解能求解. . （重点） （重点） （2013 2013 数二）数二）求曲线 33 10,0xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离与最短距离 注：目标函数目标函数 22 xy与等效目标函数与等效目标函数 22 xy的最值点是相同的，的最值点是相同的，而等效目标函数 22 xy求导结果更简单， 所以将拉格朗日乘数法中的目标函数 22 xy换成等 效目标函数 22 xy. 注： 方程注： 方程关于关于x x,y,y具有轮换对称性具有轮换对称性. . 作减法作减法后， 其中后， 其中230xy时，时， 十分不好求解，
11、十分不好求解，事实上此时无解；事实上此时无解；若是考试时遇见此类若是考试时遇见此类十分不容易求解的十分不容易求解的情情 形，形，建议建议只考虑只考虑xy这组解这组解. . 注：这里曲线有两个端点注：这里曲线有两个端点！ 注：注：230xy 时的求解时的求解过程过程 重点（重点（2010 2010 数三）数三）求函数2uxyyz在约束条件 222 10xyz下的最大值和最小值. 注：1）高斯消元法，目的是求出高斯消元法，目的是求出 x,y,zx,y,z，所以一般是消，所以一般是消, ； 2） 消, 的过程， 类似 12 12 31 20 xx xx 消 1 x的过程 2-， 可将2,2xy中 的
12、2 ,2xy 看作的系数. 重点（重点（2002005 5 数二）数二）已知函数,zf x y的全微分22dzxdxydy，并且1,12f.求,f x y在椭圆 域 2 2 ,1 4 y Dx y x 上的最大值和最小值. 注：注：1 1）D区域上求最值，只区域上求最值，只 要要D区域含边界， 即称作闭区域区域含边界， 即称作闭区域 最值问题最值问题; ; 2 2） 闭区域最值点可能在闭区域最值点可能在D内部内部 或边界上取得或边界上取得 3）无条件极值，只需求出可能无条件极值，只需求出可能 最值点， 一般无须判别是否是极最值点， 一般无须判别是否是极 值点（除了值点（除了 20142014
13、数二第数二第 6 6 题）题） 注：条件极值两种方法注：条件极值两种方法： 1 1）将条件函数代入目标函数，）将条件函数代入目标函数， 用掉条件，转化为无条件极值；用掉条件，转化为无条件极值； 2 2）用拉格朗日乘数法）用拉格朗日乘数法; ; 3 3）抛物线的最值点取自：对称）抛物线的最值点取自：对称 轴点和端点轴点和端点 重点（重点（2007 2007 数一）数一）求函数 2222 ,2f x yxyx y在区域 22 ,4,0Dx y xyy上的最大值和 最小值 注：在注：在D内部求可能内部求可能 最值点，则方程的解最值点，则方程的解 不在不在D内部的，舍去内部的，舍去 即可即可 注：可将
14、点注：可将点 2,0 , 0,2 , 0,0四个点四个点看看 做端点， 若是做端点， 若是 “可能最值点可能最值点” 未包含，未包含， 不妨计算一下，以免漏点不妨计算一下，以免漏点. . （了解） （了解） （2014 2014 数二）数二）设函数,u x y在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2 0 u x y 及 22 22 +0 uu xy ，则 （A）,u x y的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 （B）,u x y的最大值和最小值都在 D 的内部取得 （C）,u x y的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 （D）,u x y的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得
