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1、精品课堂 Jingpin ketang 精品课堂 Jingpin ketang / 小学数学教师 / 2015.12 义务教育数学课程标准 （2011年版） 提 出要让学生在数学学习中体会和运用数学思 想方法的观点后， 各版本教材纷纷将蕴含数学 思想方法的好素材编入教科书， 人教版教材也 在六年级 “数学广角” 中编入了 “数与形” 这一 内容。编写者是想在探究图形和数的问题中， 引导学生发现数与形之间的联系， 体会数形互 助的特点， 积累数形结合思考问题的经验， 同 时渗透归纳推理和极限思想。在深刻领会教 材的编写意图之后， 我设计了如下教学过程， 力图实现教材预设的教学目标。 一、 体会形
2、中有数， 数中有形， 数形相关 1. 谈话引入 师： 提到 “数学” ， 你会想到什么？ 生： 数字、 图形、 运算符号、 小数 师： 如果把刚才同学们说的内容分分类， 一类可称为 “数” ， 另一类是 “形” ，“数” 和 “形” 是数学中两类最主要的研究对象。那么， 数与 形之间有没有关系呢？（个别学生点头， 大多数 学生沉默） 有的同学凭着感觉认为有， 有的同 学从来没有思考过这个问题， 看看通过今天这 节课的学习， 你们有没有新的认识。 板书： 数 形 2. 教学例1 出示： 师： 这是一组图形， 你发现它们之间的规 律了吗？请用数或式子表示你发现的规律。 学生思考、 表达， 教师巡视
3、、 采样， 然后全 班交流。 板书规律一： 1 4 9 16 师： 谁能读懂这位同学发现的规律？说一 说这些数的含义是什么。 生：“1” 表示第一幅图有 1 个小正方形， “4” 表示第二幅图有4个小正方形，“9” 表示第 三幅图有9个小正方形，“16” 表示第四幅图有 16个小正方形。 板书规律二： 11 22 33 44 师： 很多同学是这样写的， 这个规律表示 什么意思？ 生： 第一个图形的边长是1， 所以用11； 第二个图形的边长是2， 所以用22； 第三个图 形的边长是3， 所以用33； 接下来是44。 板书规律三： 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 师： 我还发现有的同学是这
4、样写的， 这是 什么规律？ 生：“1” 是指第一个图形有1个小正方形； “1+3” 表示在第一个图形的基础上增加了 3 个；“1+3+5” 表示在第二个图形的基础上增加 了5个 师： 谁能在图上指一指1、 3、 5、 7分别在哪里？ 教师在学生指的地方对应写数： 1357 刘延革 体会数形互助的价值体会数形互助的价值 经历数形结合的过程经历数形结合的过程 数与形课堂教学实录 课堂 44 精品课堂 Jingpin ketang 小学数学教师 / 2015.12 / 师： 这位同学观察的角度比较特别， 我们 用不同颜色把他发现的规律表示出来。（教师 用彩色磁条在图形上分别表示出 3、 5、 7 的
5、 位置） 师： 这几种观察规律的角度有什么不 一样？ 生： 规律一是从小正方形的数量来观察 的， 规律二是从图形边长相等的特点来观察和 表示的， 规律三是从图形外围增加的小正方形 个数来观察的。 师： 尽管观察的角度不同， 但同学们都能 用数来表达它的规律， 对吗？ 生 （齐声） ： 对！ 师： 如果沿着1+3+5+7这个规律继续往下 想， 1+3+5+7+9+11+13这个式子对应的图形是 什么样子的？ 生： 我认为是边长为7的正方形。 师： 给大家讲讲， 为什么是边长为7的正 方形？ 生：（上黑板前演示） 因为图形右上角的小 正方形是重叠的 （学生的意思是， 这个小正方 形既包含在最上边的
6、横行中， 也包含在最右边 的竖列中） ， 应该用13加1等于14， 再用14除 以2等于7， 所以边长是7。 师： 还有不同的方法吗？ 生： 我是用数的方法。一共有1、 2、 3、 4、 5、 6、 7,7步。这个已经是4步了， 再加3等于7。 师： 你给大家再数一下， 7在哪儿？ 生： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 一共7个数相加， 所 以边长是7。 师： 同学们真棒！你们通过算或数的方 法， 都找到了这个算式对应的图形， 它是边长 为7的正方形， 也就是1+3+5+7+9+11+13=72。 那么， 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19这个算式 对应的图形又是什么样
7、子的？等于几的平 方呢？ 生 （齐声） ： 边长为10的正方形， 等于10的 平方。 师： 为什么？ 生： 因为算式中有10个加数。 师： 也就是1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= 102。回顾研究这个问题的过程， 同学们在图 形中看到数的影子， 在数中想到图形的样子。 你们觉得数和形之间有没有关系？ 生 （齐声） ： 有！ 师： 对， 数中有形、 形中有数， 数形之间有 关系。那么， 数和形之间有着怎样的关系呢？ 我们接着探究。 二、 体会以形助数， 以数解形， 数形互助 1. 教学例2 出示： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 师
8、： 观察这个算式， 它有什么特点？ 生： 后一个分数是前一个分数的 1 2 。 师： 算式中的省略号是什么意思？ 生： 后边还有很多数， 无数个。 师：“无数个” 就是没有尽头的意思。按照 这样的规律没有尽头地加下去， 它的和等于多 少？（学生沉默） 师： 没感觉是吧？没关系！同学们可以借 助图形找找感觉。 出示练习纸： 师： 请你从上面3个图形中任选一个， 然 后在你选择的图形中找到它的 1 2 ， 在 1 2 的基 础上加上它的 1 4 ， 再加上它的 1 8 ， 按算式的要 求一直加下去， 看看能不能找到和是多少。 学生操作， 教师巡视、 指导， 然后全班 45 精品课堂 Jingpin
9、 ketang / 小学数学教师 / 2015.12 交流。 出示学生作品一： 师： 仔细观察， 这位同学先通过平分找到 圆的 1 2 ， 然后在 1 2 的基础上做什么？ 生： 继续平分， 加上 1 4 、1 8 、1 16 、1 32 。 师： 如果继续往下加， 下一个数加在哪里？ 生： 加在空白部分。 师： 算式的意思就是在空白处不停地加 下去。 出示学生作品2： 师： 这位同学是用线段图表示的， 他先找 到线段的 1 2 ， 然后加上 1 4 ， 再加上 1 8 、1 16 、 1 32 、1 64 。算式中的省略号表示哪里？ 生：1 64 右边的空白处。 师： 感受一下， 这样一直加
10、下去， 和应该是 多少？ 有几位学生指出和等于1， 大部分学生认 为和无限接近于1。 师： 老师用正方形再来演示一下加的 过程。 课件出示： 师： 按这样的规律加下去， 和是多少？ 生： 1。 生： 无限接近于1。 学生意见不统一， 相互争论起来。 师： 有的同学认为等于1； 有的同学觉得越 来越接近1， 但不等于1。意见不一致！我们 不着急得到最终结果， 先来看看同学们画图的 收获。刚开始同学们看到这个算式一点感觉 都没有， 不知道和是多少。通过画图， 同学们 知道它的和与谁有关系？ 生 （齐声） ： 1。 师： 无论是觉得等于1， 还是觉得和1差一 点， 起码我们有了一个方向， 觉得结果与
11、1有 关系！这就是图的好处， 它能帮助我们找到一 种感觉， 一个方向。但是， 我们还有困惑， 结果 到底是等于1， 还是接近于1？你们觉得图能 回答这个问题吗？ 生 （齐声） ： 不能。 师： 这就是图的缺陷， 它不能准确地、 精细 化地表示结果。当图解决不了的时候， 我们可 以用数进行推理。既然 “和” 与1有关系， 我们 就从1开始想。 课件出示： 师： 我们可以把1想象成 1 2 + 1 2 ， 然后 把第二个 1 2 看成 1 4 + 1 4 。 课件出示： 46 精品课堂 Jingpin ketang 小学数学教师 / 2015.12 / 师： 继续将第二个 1 4 分成 1 8 +
12、 1 8 ， 像这 样一层层分下去。 课件出示： 师： 第二个 1 64 又可以分成 生： 两个 1 128 相加。 师： 按这样的规律继续往下分， 分得完吗？ 生： 分不完， 能分无数个。 师： 如果是无数个、 没有尽头， 可不可以用 省略号表示？ 课件出示： 生 （齐声） ： 可以！ 师： 读一读这个算式。 生： 1等于 1 2加 1 4加 1 8加 1 16加 1 32加 1 64加 师：1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 +这个算 式是由谁分出来的？ 生： 由1分出来的。 师： 那么，1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 +
13、1 64 + 等于几？ 生： 等于1。（齐声， 但不够坚定） 师： 可能很多同学还没有完全理解这个算 式为什么等于1， 因此在感情上还无法接受这 个结果。没关系！因为这个问题太难了， 同学 们到了初中、 高中时还要继续学习。今天我们 研究这个问题的目的， 是在寻求它等于几的过 程中体会数和形之间的关系。回顾一下刚才 的探究过程， 刚开始同学们看到这样一个算 式， 不知道等于几， 谁帮助我们找到了感觉， 找 到了 “和” 与1有关系？ 生： 图形！ 师： 图形帮助我们发现按照这样的规律加 下去， 和越来越接近于1， 甚至有同学想到等于 1。当图形不能精确地表示出和到底是等于1， 还是接近于1的时
14、候， 谁又帮助我们找到了准 确结果？ 生： 数！ 师： 是的， 数又帮助我们通过推理得出和 就等于1。同学们， 数和形有关系， 你们觉得数 和形之间有着怎样的关系？ 生： 关系密切； 你中有我， 我中有你； 互相 帮助 师： 关系密切， 你中有我、 我中有你的本 质， 在于它们可以相互帮助。其实， 在我们以 前的学习中， 有很多地方体现出数形之间互相 帮助的特点。 2. 回顾以前学习中数形互助的例子 课件出示： 师： 我们一起来回忆， 当遇到比较难的问 题时， 我们通过画图帮助理解抽象的数量关 系； 学习几何知识时， 角因为有了度数， 我们就 知道它是什么角； 两条直线之间距离相等， 就 说明
15、这两条直线是平行关系。这些例子都体 现出数与形之间互相帮助。在实际生活中， 也 47 精品课堂 Jingpin ketang / 小学数学教师 / 2015.12 有很多地方用到数形互助来解决问题。 三、深入体会数无形时少直观， 形无数时 难入微 1. 以形助数， 解决销售问题 课件出示： 月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 销量 （箱） 72 62 79 68 77 69 82 71 89 92 99 105 师： 这是某超市2014年的饼干销售量统 计表。如果你是超市经理， 下一年你还会继续 进货卖这种饼干吗？ 生： 进吧。（学生回答时不是很有底气） 师： 只看数据，
16、 感觉不太强烈。把这些数 据制成折线统计图， 大家再来感受一下。 课件出示： 师： 继续进货吗？为什么？ 生： 进！ （齐声， 坚定） 因为销售量越来越 多， 是上升的趋势！ 师： 统计图呈现了销售量上升的趋势， 所 以大家决定继续进货， 接着卖。在解决这个问 题的时候， 是谁帮助了谁？ 生 （齐声） ： 图在帮助数！ 2. 以数解形， 解决运输问题 课件出示： 师： 用图中这辆卡车运沙坑里的沙子， 一 次能将沙子全部拉走吗？老师把车厢的形状 和沙坑的形状简化出来， 请你判断一下。 生：（沉默后） 不知道。老师， 能给我们数 据吗？ 师： 想要看能不能拉走， 需要借助数据算 一算， 是吗？ 课件出示： 生： 能拉走！车厢的容积是15立方米， 沙 坑的容积是14.7立方米。 师： 解决这个问题时， 谁帮助了谁？ 生： 数帮助了形。 师： 同学们思考一下， 在数与形互助的过 程中， 数的优势是什么？形的优势是什么？ 生： 数是准确的， 形一目了然。 师：“数” 能更精准地表达事物，“形” 能更 加直观地表达事物。其实，
