几何图形计数资料

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1、学数学计数问题 1 几何图形计数几何图形计数问题问题 例一、 数一数，下图中包含几条线段。 解析： 数线段是几何图形计数问题的重点和基础。点和线段是基本的几何图形元素， 一般可采取按照线段端点顺序分类 加法 计数 。 A 1 E A 编序号 如图， 我们先把题图线段上各点按顺序编序号， 然 后从“0”号端点开始计数。 以“0”号端点为左端点的一类线段有4 0 = 4条； 以“1”号端点为左端点的一类线段有4 1 = 3条； 以“2”号端点为左端点的一类线段有4 2 = 2条； 以“3”号端点为左端点的一类线段有4 3 = 1条； 将各类线段的数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数： 4 +

2、3 + 2 + 1 = 10 我们发现： 把题图左端点编为“0” ，向右依次编号，一直到“4” ，而题图中所包含的线 段总数恰为41连续自然数的和：4 + 3 + 2 + 1 = 10； 若某一线段上共有包含两端点在内的 10 个点，按照上述方法可编号为09； 那么，这条线段所包含的线段总数应为： 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 A 2 E A 数基本线段 题图中，相邻两点间的线段，比如、 等，这类线段内不包含其它已知 点，姑且称之为基本线段。 题图中有 4 条基本线段:、； 相邻两条基本线段相加: + 、 + 、 + ， 则组成3条线段； 相邻三

3、条基本线段相加: + + 、 + + ， 则组成 2 条线段； 相邻四条基本线段相加: + + + ，则组成 1 条线段； 将各类线段数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数： 4 + 3 + 2 + 1 = 10 答：图中共有 10 条线段 学数学计数问题 2 例二、如图，数一数，图中包含几个角。 解析： 角的计数，可与线段计数采用相同的方法，即采用分类加法计数。 A 1 E A 标注序号 把题图中已知射线依序编号为 0、1、2、3，如图所示。 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形，叫做角。比如，射线 OA 绕公共端点 O,沿顺时针 方向旋转到射线 OB 的位置，便形

4、成AOB .据此，则有： 以 0 号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线 1、2、 3 的位置所形成的角有 3 个； 以 1 号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线 2、3 的位置所形成的角 有 2 个； 以 2 号射线为始边，沿顺时针方向旋转到射线 3 的位置所形成的角有 1 个； 把这三类角的数目相加，便得到题图所包含的角的总数: 3 + 2 + 1 = 6 A 2 E A 数基本角 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 在题图已知的四条具有公共端点的射线中，任取两条相邻 的射线都可以组成 一个角， 比如， 射线 OA 与 OB 相邻， 可构成AOB； 不妨称这类角为“基本角”。

5、先数一数题图中有几个基本角，再按照不同的组合方式，用基本角来组成其 他不同种类的角，最后各类数目相加。 题图中的基本角：AOB、BOC、COD，共有 3 个； 由两个相邻基本角所组成的角： AOB + BOC、BOC+ COD， 共有 2 个； 由三个相邻基本角所组成的角：AOB + BOC+ COD，共有 1 个； 则题图所包含的角的总数为: 3 + 2 + 1 = 6. 答：题图中包含 6 个角。 我们发现： 题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开 始到 1 的连续自然数之和： 数数右图共包含多少角？ 解：右图共有 6 个基本角，所包含角的总数是 6 + 5 + 4 + 3 + 3

6、 + 1 = 21 学数学计数问题 3 例三、 如图，共有多少角？ 解析： 本题与例二不同，要求数数一个周角内包含多少角。解题方法可参考例二， 采用分类相加计数。 题图共有 4 个基本角：1、2、3、4； 相邻两个基本角相加，可组成 4 个角： 1 + 2、2 + 3、3 + 4、4 + 1； 相邻三个基本角相加，可组成 4 个角： 1 + 2 + 3、2 + 3 + 4、3 + 4 + 1、4 + 1 + 2； 相邻四个基本角相加，可组成 1 个角：1 + 2 + 3 + 4； 这 4 类角的个数之和为：4 3 + 1 = 13 答：图中共有 13 个角。 例四、 如图，数数图中共有几个三角

7、形。 解析： A 1 E A 参照数线段的方法，按照三角形边的顺序来分类加法计数。 先把具有共有端点 A 的线段顺序标注序号， 如图所示。 以 0 号边为左侧边的三角形有 4 个； 以 1 号边为左侧边的三角形有 3 个； 以 2 号边为左侧边的三角形有 2 个； 以 3 号边为左侧边的三角形有 1 个； 共有三角形 10 个：4 + 3 + 2 + 1 = 10 学数学计数问题 4 A 2 E A 数基本三角形 题图特征： A a E A 所有三角形都具有公共顶点 A; A b E A 线段 BF 上有 4 条基本线段。 由 A 点分别连接一个基本线段的两端点， 便可组成一个三角形， 比如，

8、 ABC、 ACD等，不妨称这类以 A 为公共顶点的三角形为基本三角形。 显然，题图中的基本三角形与线段 BF 上的基本线段的数目相同。 将相邻基本三角形两两、三三、四四组合，则可得到不同类型的三角形。 而各类三角形的总数则为由表示基本三角形数（即基本线段数）的数字开始 一直到 1 的连续自然数之和: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 例五、 如图，数数图中包含多少三角形。 解：先不考虑 GH 线段，BF 上共有 4 条基本线段，故题图共有 10 个三角形； GH 上的基本线段数与 BF 相同，也是构成以 A 为公共顶点的三角形，所以又 增加 10 个三角形； 故图中包含的三角形总数为：

9、2 10 = 20 答：图中包含 20 个三角形。 例六、 如图，猜猜图中共有几个三角形。 解析：本题特征是没有图中所有三角形都具有的公共顶点。 线段 BC 上有两条基本线段，分别与连接 A 点、D 点的线段围成 2 个三角形: ABC、DGC 学数学计数问题 5 线段 AB 上有两条基本线段，分别与连接 C 点、F 点的线段围成 2 个三角形： ABC、AEF 还有以 D、H、F 为顶点的DHF； 所以，图中共有三角形数为： 2 + 2 1 + 1 = 4 例七、 如图，数一数图中长方形的数目。 解析：仿照数线段的方法。 大长方形的长边上有 4 条基本线段，可以组成 10 条线段，而每条线段

10、对应 一个长方形，所以共有 10 个长方形； 或者说，每条基本线段都对应一个小长方形，姑且称为基本长方形，即把 大长方形分割为四个基本长方形，可以组成 10 个长方形； 再简单一些，直接用由数字 4 开始直到 1 的连续自然数的求和计算： 4 + 3 + 2 + 1 = 10 例八、 如图，数一数图中长方形的数目。 解析：分步 相乘计数 。 第一步，先看大长方形长边上的分割： 依据例五中的题解，大长方形长边上的 4 条基本线段，把其分割为 4 个基 本长方形，可组成总数为4 + 3 + 2 + 1 = 10 的小长方形； 第二步，再看大长方形短边上的分割： 与例五中的题解同理，大长方形短边上的

11、 2 条基本线段，把其分割为 2 个 基本长方形，可组成总数为2 + 1 = 3 的小长方形； 所以，题图中长方形的总数目为： (4 + 3 + 2 + 1) (2 + 1) = 10 3 = 30 学数学计数问题 6 例九、 如图，图中有多少平行四边形。 解:(3 + 2 + 1) (3 + 2 + 1) = 6 6 = 36 答：图中共有 36 个平行四边形。 例十、 如图，长方形内包含多少正方形。 解析：查找正方形。 设小正方形的边长为 1 个基本单位，则题图长方形的长为 6 个基本单位， 宽为 5 个基本单位。 A 1 E A 边长为 1 基本单位的正方形个数为 6 5 = 30; A

12、 2 E A 边长为 2 基本单位的正方形个数为 5 4 = 20; A 3 E A 边长为 3 基本单位的正方形个数为4 3 = 12； A 4 E A 边长为 4 基本单位的正方形个数为3 2 = 6； A 5 E A 边长为 5 基本单位的正方形个数为2 1 = 2； A 6 E A 所有正方形个数： 6 5 + 5 4 + 4 3 + 3 2 + 2 1 = 70 例十一、 一副三角板如图放置，数数图中所包含的锐角、直角和钝角各有几个。 解析： 一副三角板（一个是含有 30 0角的直角三角形，另一个是含有 450角的直角 三角形） ，可以拼出许多不同的图形，是常用的几何作图技巧，也是常

13、见的几何 图形试题的命题模型。 本题这副三角板的放置特征: A 1 E A 含 30 0角的三角板的 300角顶点与含 450角的三角板的直角顶点重合； A 2 E A 含 30 0角的三角板的斜边与含 450角的三角板的直角边重合。 图中包含锐角 4 个，直角 2 个，钝角 2 个。 学数学计数问题 7 例十二、 如图，在长方形内，锐角、直角及钝角各有几个。 解析： 通过估测对几何图形中的角进行分类查找 ，对存疑的角也可借助三角板等 工具进行辅助判断。 锐角：8 个； 直角：8 个； 钝角：1 个。 例十三、 如图，数数图中的三角形、正方形、长方形、平行四边形及梯形，各有几 个。 解析：解答

14、这类综合性的几何图形计数问题，常常采取分类相加计数方法。 A 1 E A 包含 4 个直角三角形在内，总计 8 个三角形； A 2 E A 共有 2 个正方形； A 3 E A 包含 2 个正方形在内，共有 3 个长方形； A 4 E A 包含 2 个正方形，1 个长方形在内，共有 5 个平行四边形； A 5 E A 包含各类梯形在内，总计 9 个梯形，如图所示。 答：8 个三角形，2 个正方形，3 个长方形，5 个平行四边形，9 个梯形。 例十四、 如图，数数图中三角形的个数。 解析：以三角形的边长为标准，分类相加计数。 A 1 E A 边长为 1 个基本单位长度的三角形共有 16 个； A 2 E A 边长为 2 个基本单位长度的三角形共有 7 个； 学数学计数问题 8 A 3 E A 边长为 3 个基本单位长度的三角形共有 3 个； A 4 E A 边长为 4 个基本单位长度的三角形共有 1 个； 16 + 7 + 3 + 1 = 27 所以，总计共有 27 个三角形，如图所示。 例十五、 如图，数数图中三角形的个数。 解析：按照三角形不同的底边或公共顶点来分类相加计数。 A 1 E A BA 边共有 3 条基本线段，可以组成 6 个以 C 点为公共顶点的