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1、河池师专学报 一九八七年第一期?理总第五期? 伯努利方程的适用条件 许 ,忠 诚 提要本文着重介绍 伯努利方程是否适应于不同参考 系统 的问题 。 伯努利方程 是流体 力 学 中动 力 学基本方程 , 普通物理力 学教科书 中 , 讨论 伯努利方程的 使用条件 时 , 忽视了参考 系统 , 引起 混乱 。 本文着重介绍伯努利方 程是 否适应于不 同参考系 统 。 一 、 惯 性参考系中的伯努利方程 ? 静止 惯性 参 考系中的伯努利方程 在流体力 学 中讨论功 与机械 能关 系时 , 为了突 出流 体的主 要性 质流动 性 , 而引进 了 不可压 缩 、 没有粘滞性 的理想模型 理想流体 。
2、在稳 定流 动的理想流 体 中 , 取截面较小 的? 、 ?流 管 , ? 、 ?处 的截面积分别 为? , 、 ? , 在? ? 时 间内 , 二截面移 动 到? 、 ? 处, 那 里的流 速 、 压 强 、 高度 分别为? ?、 ? ?、 ? 、 ? 、 ? 样 ? ? , 取静 止参考 秒 一应 用“能源” , 连 续 性 ” ? 程?一般教 材均育推导? , ? 得出 雹 ? ? 里 ?一? ? ? ? ? ? 八 ? 尸? 十百尸? ,? ? 对此 公式理解如 下 ? ? 、 此公式是选 择理想流体中的细流管推导 得 出的 , 当令截面积? ? 时 , 细 流 管演 变 为流线 ,
3、因此可适用于同一流线上 。 “ 、 公式 中 , ?“为 单位体积的势。 旨 , ? ? ? , 为单位体积 的动能 , ?为单位体积的 压力 能 。 为此 , 公式的意义是 ? 同一流管内?或同一流线 上?各处的单位体积的势能 、 动能 、 压 一? ?一 力能 之和 为一常量 , 称 之为静止惯性参考系的伯努利方程 。 ? 、 应用伯努利方程时 , 必须同时满足四个条件 ? 理想流体 、 稳定流动 、 同一流线?同 一细流管 ? 、 静止惯 性参考 系?一般指地球 ? 。 ?运动惯性参考系的伯努利方程 相对于静止惯 性参考系 作匀速运动的运动惯性参考系而言 , 伯努利方程是否成立? 今侈
4、“ 为简单起见 , 设? 。, ? , 与? 。二 二 坐标系对应 ? 八认 尸 ? 悠 丈 职 、 八 平行 , 而且? 尹。工了 系相对于静止 参考系 。二系以恒速? 沿 ? ? ? ? 生 ? 二轴 的负向运 动 , 即 。二 一 ? ? , ? 未一一 二 一今 争之 厂 叉 闰 , 箱 ? 二口 街 ? ? , 叭 ? ? 。 称? 。?为 运动 惯性参考系 , 对? ?。尹?而 言, 在稳定流动的理想流体中所截取的细流管 , 由? ?位置流到? ?位 置 过 程 中 , 系统内力不作功 , 外力对系统作的合功 ? 八八 ? ? ? ? 一? ? ? ? , ? ? ?夏? ? ?
5、? ? , 一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 机械能的增量 ? ? 二 ? ? 一? , ? ? ?。? ? 人?一 ? ? ? ? ?人? ? ? ? ?, 一?人? , ?工? ? 、 名 。 ? ? ,、 , ? ? 一 ?少一 气 月万 ? ? 一 十 ? ? 且?少 乙 ? , ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ?一 ? , ? ? ? ? ?气下,乙飞七“二? ? 一 十?乙玉? 忍乙 ? ? ? 忍 少 一 乙 由连续性原理 ? ? ? ? ? ? ? ? “? 运用功能原理得 ? ? ? ? 尸?十 万尸? 王 乙 ? ? 一 ? ? 人 ? ? ? ? ? ?
6、 二? ? 粤 ? ? ? ? ? ? ? ? ”肥? ? ? 乙之二? 可见 , 对静止 惯性参考系作匀速动动的参考系而言 , 伯努利方程仍成立 , 称之为运动惯 性参考系伯努利方 程 。 在应用伯努利 方程解题时 , 要增加由于 ?、二 。 , 而产生的单位体积的 八 压力能? 八 ? ? ? ? 公式中的 ? 是相对于运动参考系的 , ? 二是 ? 产。? , 系对 ? ? 系的速度 , 但 ? ? ? ? 是流体对? ?。?尸系的位移增量? 一? ?一 二 、 伯努 利 方程是否适吊于非愤性参考系? 我 们知道 , 牛顿运动定律不适用非 赓性系, 为了能够用牛顿 运动 定律解题 , 必
7、须 引进 惯性力 。 为此 , 在非 盼胜系 中讨 论 功与机械能关系时 , 计算 了 ? 贯 性力 作功 后 , 动能定理也能 成立 。 那么 , 在流体力 学 中弓?进惯性力作的功后 , 伯努利方程是否成立? 假设? ?产? 系在? ? ?时 , 与? ? 系完全重合 , 然后以 加速度沿 ? 轴负 向 运动 , 即 ? ? , ? , ? ? , ? ? 一? , 流体受惯性力? 二 ? ? , 方 向与?相反 , 与 ? 轴正向重合 。 外力作的功 ? ? 犷?辨狱 之 ? ? 一 ? 执浪一一 ? 上 七 ? 一工? 一一之一一? ? 一 ?盏二 ? ?一一? 孕 一?争 扩 。 雹
8、三丫 八 ?尸? ? ,之 ? 一? 、 血 ? 入产 人 ?一 ? 万 , 压刀 ? 牛 胡 ? 八 ?二 日主乙 玉匀七艺么们 十石 一 ? ? 一 ? ? ? ? 乙 一? ? ? ? ? ? 八 ? 子 ? 一舟 ? 、? ? 于 ? ? ,土?介 八 惯性力 作功 ? ?二 ? ? ? ? ,? ? 关于机械能量 , 可仿上 述推 导得 ? ? ? ? 。 ?一 ? 、? 由功能原理 、 ? ? ? ? ? ? ? 连续性方程得 ? 三 ?。 ? , ? ? ? 一 、 ? ?么? ?艺么 乙? ? 且? 十 不丁?乙玉?、乙? ? 一 ? 乙 。 ,? ? ?, ? ? , , ?
9、 ?, 。 ? ? ?飞,尸 匕? 二? ? 厂尸 ? ? ? ? ?一 艺 八 叭 “ 住?望 运卉 一 八王 ? 垫 ?生一 ? ? ? ? 、 ? 王 ? 八 ? ? ? ?, 一石 艺 ? ? ? ? ,?,? ? , ? ?尸? 卞尸? ? ? 卞万 尸? ?一 十尸2 乙 1 八 厄 atZeosv:a 12 可见 , 在非惯性 系中 , 引进惯性力和考虑惯性力作功后 , 伯努利方程仍成立 , 称之为非 惯性系伯努利方程 。 在非惯 性系 中应用伯努利方程解题时 , 必须 增加由于a今 。 而增加的单 位体积的压力能 _ 尸 1 八 2 at么eosva l 、 单位体积的惯性能
10、入 望续 ; 一 乙八5 1之么Li 八 1 l:eos v , a + 2 a t Z 。 公式中的速度v 三 、 实例 是相对于 非惯性系的 , 舀 。t“ 是梳体相对于y 。,二系的位移增 量. 乙 现在我们用上述理论来解释下面例题 。 例题 : 水桶底部中央有一小孔 , 桶内水深h 二0 . 3米 , 试求下列情 况下 , 从小孔流出 的 一39一 相 对于水捅的速率:(1)水 桶是静止 的,( 2 )桶 匀 速上升 , ( 3 )桶加速下降 , a二 1 . 2米/秒 2。 匕 _ _蛋一 下 ! 矛 ! 下歇 呼 .1. , 解(1)水桶是静止时 : 长 长 , .t l 七 以支
11、 由静止惯性参考系伯努利方程 : 图因 _ , 1 _ , ._, _ . 1 _ _ _。:. _t 尸一十 石一 尸v l一 卞尸9 1 11 = F Z 一 瓦尸v : 一 个尸匕 u Z 乙乙 , . v: vZ“ 0 , P : =P : =P 。 : v = 训 2 9(h:一h , )了 2 gh 这就是著名的容器小孔流出速度的托里拆利公式 。 将数值代人得 v= 了 2xg 。 s x o . 3 , 2 . 42 (米/秒) (2)水桶是匀速上升的 , 以水桶为参考系 , 八 由运动惯性系伯努利方程 : _ . 1 _,._, . _ 尸1一 舀 尸v z一 卞尸g nl一
12、F - 乙 胜tC o S U v l l , _ . 1 _ _ _ : ._ _,_ . _ = F Z 卞 - 瓦尸V Z 个尸9 1 12一F艺 石 八 uteosuv艺 12 . , . v , v Z =OP ; 一 P Z一P 。 八 本题 里 的水是装在运动参考系上 , 所以水对桶来说附加位移utco s u v 0 , 即 :v:= 切玄g ( h Z一 h 、 ) = 侧万药 =访 之灰不厄又 瓦3= 2 . 4 2 ( 米/秒) , 绝 _ _ 少 _-一 飞诃 _ _ _ 七 一 呼芡 子 (3)桶加速下降 , a 一1 .2米/秒2, 选加 速 度为a的运动物体水 桶
13、 为参考系 , 由惯非性的伯 努利方程 : 条 、 ! l叮 r 认 l翻“ 一 一 万r 一 ( 恻住衷 _ ; . 】 .兮 一J . l 劝石_ _ 一生i _ L 一 肠五 A p v11 + pgh:+ P; 1A 2atZeosvxa一 l , M a s, l: ,“s y,“ + 意 七 z一 名 十 一40一 十又 乙 1 八 pv :“ + pg h : +P : 万at “C o s v Za 22 已知 : v: v:一 o P z二 P:= P 。 由于水,是装在运动参考系下 , 所 以水对桶来说附力口位移 壹 ,名一 。 ,、 山* 、, _ _ : 1 2考熟艾刀
14、:尸1卞 6 py l一 卞 尸匕n 工 一 乙 M a s, IJ 八 l ,eo sv 、a _ . 1 = F , 十厄 尸y 一 十p gn , M a , ,_ _ _ _,. 1 _ _ pg l l l 一 天二 了二一 艺么乙a cUS V z己 = 尸gn Z 十万尸v Z Z之5 22之z乙 , . M= s, h p h=h 工一 1 1 2 八 vla= 0 人 eosvla= 1 . P gh 1 一 步 能钾 1 一 孟 一 p 一 “ 十p gh 念 l 冬v :“一 g(h , 一 h : ) 一 h a = gh 一 l i a 2 “ 一 、 -二 _ v
15、: = 侧 2 (g一a)h = 侧 2(9.8一1.2)x0 .3 一2 。 27 (米 /秒 反 之 , 若水桶匀加速上升 , v 。 = 侧2(g+ a)h = 2 .57 (米 /秒) 参考文献 : 力学 赵景员编 力学教程顾建中编 (上接第1 8页) 称p为m与n的商 , q为m 除以n的余数 。 本文不惜篇幅 , 重述了小学生熟知的自然数 的运算及其性质 , 原 因何在呢?在这里 , 自 然数的 “ 自然性(量值意 义 )没有 了 。 我们仅从自然数可以从1开始一个接一个地全部 排列起来自然数的 “可列” 性重新建立起自然数的各种运算 。 因此 , 这些运算是否 还有 我们熟知的数的运算律(交换律 、 结 合律 、 分配律等 )呢?代数学还告诉我 们 , 自然数最有 价值的特征 是它的 可列 ” 性 。 因此 , 我们作了如上 的重述 。 通过这些重 述 、 我们看到: (一) 、 自然数是不予定义的原始概念 , 自然 数集满足裴阿诺公理 。 (二) 、 白然数的 可 列 ” 性在建立自然数的各种运算中的作用 。 (三) 、 自然数运算的实质 。 1+l一 2 并不是根据 : 原有一头牛 , 又来一头牛 , 共有两 头
