关于数学文化的学术思考

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1、关于数学文化的学术思考方延明1992 年，联合国科教文组织在里约热内卢郑重宣布：“2000 年是世界数学年”，并明确指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”。为什么里约热内卢宣言给予数学如此厚爱，因为数学是推动人类进步的最重要的思维学科之一，对提高全人类素质起着极其重要的作用。本文将数学作为一种文化来思考，从五个方面论述了数学文化的学科观、数学文化的哲学观、数学文化的社会观、数学文化的美学观和数学文化的创新观。 为什么把数学作为一种文化来研究，而不是只把它局限于科学的范畴呢？一是因为文化的含意比科学更广泛。蔡元培说，“文化是人生发展的状况”，胡适说，“文明是一个民族应付他的

2、环境的总成绩，文化是一种文明所形成的生活方式。”文化涵盖所有科学，而数学具备这种广泛的涵盖性，既表现在它的原创性方面，也表现在它的应用性方面。数学影响其他的东西，感化和支配别的东西，它具备了“大文化”概念所具有的“真”（真理化）、“美”（艺术化）、“善”（道德化 ），体现了一种精神的显现。数学作为文化，还在于它表现了一种前所未有的探索精神、创新精神，它的理性思维的功能发挥得淋漓尽致，它提供给人们的不仅仅是思维模式，同时又是一种有力的解决问题的工具和武器，既反映了思维上的合理性和价值趋向，又拓展了人们的思想解放之路，因为数学常常是自己否定自己的。作者通过多年研究，深感数学作为一种重要的社会文化，

3、在推动社会进步、提高人类素质等方面具有其他学科无法替代的作用。本文仅从以下方面扼要叙述，以就教于万家。 一、数学文化的学科观 没有任何一种科学能像数学这样泽被后人。爱因斯坦在谈到数学时说： “数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”1克莱因说：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至可能以难以察觉到的方式但无可置疑地影

4、响着现代历史的进程。”“实际上，在现代经验科学中，能否接受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准。”1 早在 1 959 年 5 月，著名数学家华罗庚就在人民日报 上发表了“大哉数学之为用”的文章，精彩地论述“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”等方面，无处不有数学的重要贡献。中国科学院数学物理学部由王梓坤先生起草的今日数学及其应用课题中，特别强调了数学的贡献，他说：“数学的贡献在于对整个科学技术 （尤其是高新技术 ）水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他

5、学科所不能全面比拟的。”2 1.“数学”是什么？ 数学是什么？迄今为止，众说纷纭，莫衷一是。 英国的罗素说：“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”而法国的波莱尔则提出另一个与其针锋相对的说法：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”两者各执一词，不能说没有道理，但罗素的定义似乎陷入了虚无主义的态度。 关于“数学”是什么，大概有以下说法： （1）万物皆数说“万物皆数”的始作俑者是毕达哥拉斯，他说： “数统治着宇宙”。这一说法在长时间内得到不少人的赞同。苏格拉底甚至强调，学习数学是“为了灵魂本身去学”。柏拉图称“上帝乃几何学家”，

6、他在自己学园门上写着：“不懂得几何学的不得入内。” (2)哲学说自从古希腊人搞哲学开始，数学就成为哲学问题的重要来源。古希腊的大哲学家几乎都是大数学家，这就难怪为什么他们比较容易从哲学上来定义数学。亚里士多德说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学，但他们却把数学和哲学看作是相同的。” 对数学给予哲学的定义，首推欧几里得，欧氏在原本 中对数学的定义几乎都是从哲学方面提出的。比如： 点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度； 直线是同其中各点看齐的线； 面是只有长度和宽度的那种东西。 圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等。 牛顿在其自然哲学之数学原

7、理第一版序言中曾说，他是把这本书 “作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。”罗素则更直接，他说：“为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，且要成为一个好数学家。”他把数学的素养作为创造健康哲学的基本条件。 (3)符号说数学被人们普遍公认为是一种高级语言，是符号的世界。伽里略的一段话流传颇广，即“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。” (4)科学说此说认为，数学是一门科学。“数学，科

8、学的皇后；算术，数学的皇后。”(高斯)“数学是科学的大门和钥匙。”(培根)“数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己”(赫尔巴黎)。 (5)模型说把数学定义为模型古已有之。怀特海认为： “数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例”。约翰逊格伦说：“数学为逻辑提供了一个理想的模型，它的表达是清晰的和准确的，它的结论是确定的，它有着新颖和多种多样的领域，它具有增进力量的抽象性，它具有预言事件的能力，它能间接地度量数量，它有着无限的创造机会”雷尼说：“甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际的情况。” 除以上这

9、些说法之外，还有很多，比如创新说、工具说、审美说、逻辑说、直觉说、结构说、集合说、活动说、艺术说，但不管哪种说法，都很难用一句话把数学说全，这可能就是数学异于其他科学而作为文化的最主要的特点，数学是属于世界的，它几乎无所不有。 2.关于数学文化的学科体系 数学文化的体系框架是什么？或者说它的支撑点是什么？作者在这里提出现实世界、概念定义和模型结构的数学文化的“三元结构”，三者缺一不可。数学起源于现实世界，特别是现实世界中发生在人与自然之间的诸多问题，是数学科学的基础。人们通过对现实世界的大量观察以及对这些问题间相互关系的了解，包括借助经验的发展，经过类比、归纳，当然其中有逻辑的、也有非逻辑的，

10、进而抽象出概念(包括一些定义或公理)。 概念定义是理性了的东西。定义、公设、定理，从根本上讲，比较真实地反映了现实世界的诸多关系和内容。比如，欧氏几何的定义、公设、定理，2000 多年来一直被人们奉为经典，就是因为它解决了人们生活实践中的问题。 麦克莱恩把人类活动直接导致的部分数学分支列了一个表。 计数：算术和数论； 度量：实数，演算，分析； 形状：几何学，拓扑学； 造型(如在建筑学中)：对称性，群论； 估计：概率，测度论，统计学； 运动：力学，微积分学，动力学； 证明：逻辑； 分组：集合论，组合论。 人类的这些不同活动不是完全独立的。它们以复杂的方式相互作用、活动。这些活动给人类提供了对象和

11、运算，同时也导致了后来嵌入形式公理系统各种概念。数学概念的形成，是人们对客观世界认识科学性的具体体现。数学概念的抽象、归纳，实际上为建立模型奠定了基础。数起源于人类各式各样的实践活动，又从这些活动中抽象出许多一般的但又不是任意的、有确切内容和明确含意的概念，然后将这些概念应用到现实世界中去，把问题化归为一种形式结构，这就是我们讲的模型结构。模型是数学思想活的灵魂，千姿百态的模型，反映了一个精彩纷呈的世界。 事实上，相对于数学模型，有时数学对象具有一种双重意义。单就其所表现的要领以及形式结构而言，数学模型是对现实世界的对象物化了的东西，它已经不是原来的对象，不是一个真实的存在，而是一个抽象过后的

12、产物。然而，就它蕴含的内容来看，数学概念、形式结构，又的确是客观世界的真实反映。不然： 为什么物体运动的牛顿力学的形式计算被证实是符合实际运动的？ 为什么微分方程边值问题的理论性质能极适当地描述电子学、光学、机械学、流体力学、电动力学的许多现象？ 为什么微积分对物理学和对经济学的局部极大值问题都适用？ 所以，从现实世界中经过逻辑的、非逻辑的，化归抽象出概念、定义，然后又用这些定义、概念去梳理现实世界中的各种建构模型，去精心计算，以便给出确切的数、量、形关系。归纳、抽象、演绎、构模、计算，这就是数学的本质与魅力。 3.关于数学文化的外延性特点 数学文化外延非常宽泛，它涉及多种学科。马克思早就说过

13、： “一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度。”近年来，特别是数学文化在人文、社会、科技进步等方面的成功渗透，更充分地证明了马克思这一论断的正确性。 数学与教育、数学与文化、数学与史学、数学与哲学、数学与社会学、数学与高科技等交叉的方面，都派生出一些新的学科生长点。以数学与经济学的结合为例：数学与经济学可以说密不可分，以至于在今天不懂数学就无法研究经济。在宏观经济活动中如何及时刹住经济过于繁荣，又不至于滑入灾难性的经济衰退的危险中，可从最优控制理论得到方法上的帮助。正是由于运用了控制理论和梯度法，人们求解了南朝鲜经济的最优计划模型。在微观经济中，数学的作用也极为广泛。比如在提高产

14、品的成功率方面，若某一产品的质量是依赖于若干个因素，而这若干个因素的每个因素又都受一些条件的制约，如何挑选出最优搭配，实际上就是一个统计实验设计()的问题。当今世界，运用数学建立经济模型，寻求经济管理中的最佳方案，运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获取经济信息等，使得代数学、分析学、概率论和统计数学等大量数学的思想方法进入经济学，并反过来促进了数学学科的发展。今天，一位不懂数学的经济学家是决不会成为一位杰出经济学家的。19691981 年间的 13 位诺贝尔经济学奖的获得者中，有 7 位获奖者是因其杰出的数学工作起了主要作用。其中前苏联数学家坎托罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献

15、而获 1975 年诺贝尔奖，被公认为现代经济数学理论的奠基人。因“设计预测经济变动的计算机模式”而获 1980 年诺贝尔经济学奖。因“投资决策的数学模型”获 1981 年诺贝尔经济学奖。获 19821983 年诺贝尔经济学奖，然而他的主要工作都反映在数学上3。 其实，除上面我们列述的许多方面，数学还广泛渗透到其他领域。有位数学家甚至断言：“只要文明不断进步，在下一个两千年里，人类思想中压倒一切的新鲜事物，是数学理智的统治”3。 二、数学文化的哲学观 自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。古希腊时代的许多大哲学家，多数是大数学家。在他们眼里，数

16、学与哲学是同宗同源的。数学文化的哲学观，从根本上来讲就是把数学作为一门思维学科，特别是其中的哲学思维内容以及比较具体一点的对思维。 关于哲学思维 (1)抽象思维抽象思维是数学文化哲学思维中最根本、最基础的内容之一，是灵魂。所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西拎出来，加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。比如人们常谈到的哥尼斯堡七桥问题，欧拉就是通过抽象，把两岸及两岛想象为四个点(因为点的大小是无关紧要的，事实上几何的点也无大小)，把七座桥想象为七条线(线的形状如何，线的宽窄都是无关紧要的，事实上几何的线也无宽窄)。这样，就成了联结四个点的七条线。通过对七桥问题的解决，发现真正的