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1、1.初中学习过一次函数、二次函数.还记得函数f(x)x的图象特征吗？自左向右，图象是 ，即函数值随着x的增大而 .函数f(x)x2的图象是 ，而且其图象在区间(，0内是 ，即函数值随x的增大而 ；在区间(0，)内图象是 ，即函数值随x的增大而 . 2.从函数f(x)x2的图象上还可看出当x0时，y0是所有函数值中 .而对于f(x)x2来说，x0时，y0是所有函数值中 . 【答案】 1.上升的 增大 抛物线 下降的 减小 上升的 增大 2.最小的 最大的,1.增函数与减函数的定义 在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上. (1)如果对于 两数x1，x2A，当x1x2时，都有 ，那么，就称函数y
2、f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是 的. (2)如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时都有 ，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是 的.,任意,f(x1)f(x2),递增,f(x1)f(x2),递减,2.单调区间、单调性及单调函数 (1)单调区间：如果yf(x)在区间A上是 或是 ，那么称 为单调区间.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图象是 ；如果函数是减少的，那么它的图象是 . (2)单调性：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是 或是 ，那么就称函数yf(x)在这个 上具有单调性. (3)单调函数：如果函数
3、yf(x)在 内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为 或 ，统称为单调函数.,增加的,减少的,A,上升的,下降的,增加的,减少的,子集,整个定义域,增函数,减函数,能否将增函数(减函数)定义中的“任意两个值x1，x2”，改为“存在两个值x1，x2”？,虽然f(-1)f(2)，但f(x)在-1,2上并不递增.,【提示】 不能.如图所示，,函数单调性的判定或证明,【思路点拨】 解答本题只需按照函数单调递增的定义加以证明.,根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行： (1)取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2； (2)作差变形.即作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、
4、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子； (3)定号.即确定f(x1)f(x2)的符号； (4)判断.即根据定义得出结论.其中第二步是关键，在变形中一般尽量化为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.,1.证明函数 在区间(，0)上是增函数.,【证明】 设x1，x2为区间(，0)上的任意两个值，且x10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 故 在区间(，0)上是单调增函数.,求函数的单调区间,如图所示的是定义在半开半闭区间5,5)上的函数yf(x)的图象，根据图象写出yf(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上yf(x)是增函数还是减函数.,【思路点拨】 观察图象可知，函数
5、yf(x)在区间5,5)上不具有单调性，但在区间5，2，2,1，1,3，3,5)上具有单调性. 【解析】 函数yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5)， 其中yf(x)在区间5，2，1,3上是减函数，在区间2,1，3,5)上是增函数.,(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注意函数的定义域. (2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“”符号连接它们. 如函数y ，其定义域为(，0)(0，)，不能笼统地说，函数在(，0)(0，)上单调递减，而只能说函数在(，0)和(0，)上递减.因为若在(，0)(0，)JP4上递减，对1f(1)，而事实上f(1)f(1)
6、. (3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集.,2.求下列函数的单调区间： (1)f(x)x23x2； (2)f(x)3|x|.,函数单调性的应用,已知函数 ，x2,5. (1)判断该函数在区间2,5上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间2,5上的最大值与最小值.,【思路点拨】 解答本题可先利用定义证明f(x)的单调性，在此基础上利用单调性解答最值.,(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(
7、a)，最小值为f(b). 若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a).,1.解读函数单调性的定义 (1)定义中的关键词： “定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集.单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性； “对于”，“任意”，“都有”，“对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1x2，就必须有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2).,(2)函数单调性的刻画： 图形刻画，对于给定区间上的函数yf(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在
8、该区间上是单调递增(减)的； 定性刻画，对于给定区间上的函数yf(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的.,2.判定函数单调性的常见方法 (1)定义法.这是证明或判定函数单调性的常用方法. (2)图象法. 根据函数图象的升、降情况进行判断. (3)直接法. 运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论： 函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反. 函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y 与yf(x)的单调性相反. 在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等.
9、,【错因】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足1x21，11x1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉.,1.函数yx2的单调增区间为 ( ) A.(，0 B.0，) C.(0，) D.(，) 【答案】 A,2.已知函数yf(x)定义在2,1上，且有f(1)f(0)，则下列判断正确的是 ( ) A.f(x)必为2,1上的单调增函数 B.f(x)必为2,1上的单调减函数 C.f(x)不是2,1上的单调减函数 D.f(x)不是2,1上的单调增函数 【解析】 不能根据某两个点处的函数值的大小确定函数的单调性. 【答案】 D,
