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1、等比数列的前n项和(二)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题知识点一等比数列的前n项和的变式1等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时,Sn;当q1时,Snna1.2当公比q1时,等比数列的前n项和公式是Sn,它可以变形为Sn·qn,设A,上式可写成SnAqnA.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数当公比q1时,因为a10,所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)思考在数列an中,an1can(c为非零常数)且前n
2、项和Sn3n1k,则实数k等于_答案解析由题an是等比数列,3n的系数与常数项互为相反数,而3n的系数为,k.知识点二等比数列前n项和的性质1连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)仍构成等比数列(注意:q1或m为奇数)2SmnSmqmSn(q为数列an的公比)3若an是项数为偶数、公比为q的等比数列,则q.思考在等比数列an中,若a1a220,a3a440,则S6等于()A140 B120C210 D520答案A解析S220,S4S240,S6S480,S6S480S24080140.题型一等比数列前n项和的性质例1(1)等比数列an中,S27,S691,则S4_.(2)等比数列an
3、共有2n项,其和为240,且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80,则公比q_.答案(1)28(2)2解析(1)数列an是等比数列,S2,S4S2,S6S4也是等比数列,即7,S47,91S4也是等比数列,(S47)27(91S4),解得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2·(1q2)0,S428.(2)由题S奇S偶240,S奇S偶80,S奇80,S偶160,q2.跟踪训练1(1)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则等于()A2 B.C. D3答案B解析方法一因为数列an是等比数列,所以S6S3q3S3,S9S6q6S3
4、S3q3S3q6S3,于是3,即1q33,所以q32.于是.方法二由3,得S63S3.因为数列an是等比数列,且由题意知q1,所以S3,S6S3,S9S6也成等比数列,所以(S6S3)2S3(S9S6),解得S97S3,所以.(2)一个项数为偶数的等比数列,各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求通项公式解设数列an的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶,由题意知S奇S偶4S偶,即S奇3S偶数列an的项数为偶数,q.又a1·a1q·a1q264,a·q364,即a112.故所求通项公式为an12·n1.题型二等比数列前n
5、项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少解方法一设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则:A25 000×(10.008)2x5 000×1.0082x,A4A2(10.008)2x5 000×1.00841.0082xx,A125 000×1.00812(1.008101.00881.00821)x
6、0,解得x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元方法二设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则:A2x;A4A2(10.008)2xx(11.0082);A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084);A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810)年底付清欠款,A125 000×1.00812,即5 000×1.00812x(11.00821.00841.00810),x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元跟踪训练2从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业根据规划
7、,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式解第1年投入800万元,第2年投入800×万元,第n年投入800×n1万元,所以总投入an800800×800×n14 000×(万元)同理,第1年收入400万元,第2年收入400×万元,第n年收入400×n1万元所以总收入bn400400×400×n11 600
8、×.综上,an4 000×,bn1 600×.题型三新情境问题例3定义:若数列An满足An1A,则称数列An为“平方数列”已知数列an中,a12,点(an,an1)在函数f(x)2x22x的图象上,其中n为正整数(1)证明:数列2an1是“平方数列”,且数列lg(2an1)为等比数列;(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn,则Tn(2a11)(2a21)··(2an1),求数列an的通项及Tn关于n的表达式;(3)对于(2)中的Tn,记bnlog2an1Tn,求数列bn的前n项和Sn,并求使Sn4 024的n的最小值(1)证明由条件得a
9、n12a2an,2an114a4an1(2an1)2.数列2an1是“平方数列”lg(2an11)lg(2an1)22lg(2an1),且lg(2a11)lg 50,2,lg(2an1)是首项为lg 5,公比为2的等比数列(2)解lg(2a11)lg 5,lg(2an1)2n1lg 5.2an1,an(1)lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg 5,Tn1.(3)解bnlogTn2n1,Sn2n2n2n22n.由Sn4 024,得2n22n4 024,即nn2 013.当n2 012时,nn2 013;当n2 013时,nn2 013.n的最小值为2 013.
10、跟踪训练3把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图(2);如此继续下去,则:(1)图(3)共挖掉了_个正方形;(2)第n个图形共挖掉了_个正方形,这些正方形的面积和是_答案(1)73(2)1n解析(1)8×9173.(2)设第n个图形共挖掉an个正方形,则a11,a2a18,a3a282,anan18n1(n2),所以an18828n1(n2)当n1时,a11也满足上式,所以an.原正方形的边长为1,则这些被挖掉的正方形的面积和为1×28×482&
11、#215;68n1×2n1n.1等比数列an中,a1a2a31,a44,则a2a4a6a2n等于()A2n1 B. C. D.2某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于()A3 B4 C5 D63等比数列an的前m项和为4,前2m项和为12,则它的前3m项和是()A28 B48C36 D524已知数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,a1,a7,a4成等差数列求证:2S3,S6,S12S6成等比数列一、选择题1等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列若a11,则S4等于()A7 B8
12、C15 D162等比数列an的首项为1,公比为q,前n项的和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列,则数列的前n项的和是()A. BSqn1 CSq1n D.3已知等比数列an的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于()A. B1 C2 D44已知数列an的前n项和Snan1(a是不为零的常数且a1),则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列,或者是等比数列D既非等差数列,也非等比数列5设数列xn满足log2xn11log2xn(nN*),且x1x2x1010,记xn的前n项和为Sn,则S20等于()A1 025 B1 024C10 250 D20 2406已知等比
13、数列an的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S18,S220,S336,S465,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为()AS1 BS2CS3 DS47设等比数列an的前n项和为Sn,若8a2a50,则下列式子中数值不能确定的是()A. B. C. D.二、填空题8在数列an中,已知对任意正整数n,有a1a2an3n1,则aaaa_.9等比数列an中,前n项和为Sn,S32,S66,则a10a11a12_.10设正项等比数列an的首项a1,前n项和为Sn,且210S30(2101)S20S100,则公比q_.11设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)f(xy)若a1,anf(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn_.