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1、数论数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.专题回顾【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体
2、的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手5位数数字和最大的为95=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989【例 2】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_.【分析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅为、，当时，满足是一个质数的数有，时，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合；当，满足是一个质数的数有，此时同时保证是一个质数
3、与一个不为的完全平方数之积，只有符合专题精讲分解质因数【例 1】 个连续的自然数之和为，若、都是质数，则的最小值是多少？【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言设这个连续自然数中最小的一个是，则最大的一个是(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：，则是质数，所以的最小值是的最小值是：.拓展 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_分析 设这个自然数中最小的数为，则101个连续自然数的和为： +(+1)+(+2)+(+100)=(+100)1012=(+50)101因为101是质
4、数，所以+50必须是3个质数的乘积，要使和最小经检验+50=66=2311最小，所以和最小为66101=6666铺垫 已知=，其中、分别表示不同的数字，那么四位数是多少？分析 因为，所以在题述等式的两边同时约去即得作质因数分解得，由此可知该数分解为个两位数乘积的方法仅有注意到两位数的十位数字和个位数字分别在另外的两位数和中出现，所以=，=，=即=，=，=，=，所求的四位数是【例 2】 为自然数，且，、与690都有大于l的公约数的最小值为_【分析】 ，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数
5、，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则、是偶数，剩下的4个数中、是3的倍数（5个偶数当中只有是3的倍数），还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然是最小解，所以的最小值为19约数、倍数【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?【分析】 设甲乙两个数为，(和都不等于1或72),则，两数互质，于
6、是，的最小公倍数为，所以，由于，互质，所以或不可能在，的因子中都出现，所以，一个是一个是，所以两数的乘积等于，和为.【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数【分析】 首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样
7、就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除其次利用整除性质可知，这个数也能被25，34，27都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对从而可以断定说的不对的编号只能是8和9这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是60060，因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060拓展 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？分析 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以
8、这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98约数个数定理：设自然数的质因子分解式如.那么的约数个数为自然数的约数和为【例 5】 两数乘积为，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，那么这两个数分别是_、_【分析】 ，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数故这个数只能为、或经检验，只有
9、两数分别为和时符合条件，所以这两个数分别是和铺垫 在三位数中，恰好有个约数的数有多少个？分析 ，所以个约数的数可以表示为一个质数的次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、,所以符合条件的有个.【例 6】 两个整数、的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知不等于，也不等于或，那么等于多少？【分析】 最大公约数，当然是最小公倍数的约数，因此是的约数，不等于1，只能是或者如果，那么和都是的约数，和不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出不能是11现在考虑，那么，和是170的约数，又要是
10、17的倍数，有，三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，和分别是34和85，【例 7】 已知是一个有12个约数的合数，、有24个约数，有40个约数，求有多少个约数？【分析】 设，中不含有2、3、5因子，那么的约数个数有(其中为的约数个数)的约数个数为，与比较得到,于是，的约数个数为，与比较，于是，的约数个数为，与比较得到，于是，将、代入得到，的约数个数为.铺垫已知偶数不是的整数倍，它的约数的个数为，求的约数的个数.分析 将分解，其中是奇数，它的约数的个数为，(其中为的约数个数)，则的约数个数为.【例 8】 要使这个积是的倍数，并要使最小，则【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘
11、积的形式表示关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：则是的倍数，则得到，使最小，则完全平方数【例 9】 从到的所有自然数中，乘以后是完全平方数的数共有多少个？【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现，所以满足条件的数必为某个完全平方数的倍，共个铺垫有个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_分析 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧设中间数是,则它们的和为, 中间三数的和为是平方数，设,则是立方数，所以至少含有和的质因数各个, 至少是,中间的数至少是最小数的最小值为【例1
12、0】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多人，但比五六年级的学生人数少人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为，一二年级的学生人数为，则，而，所以，与可能为和；和；和，由这三个答案得到的和的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以，为最佳结果.此时五六年级的学生人数为人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为人.铺垫能否找到这么一个数
13、，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？分析 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是的倍数，就是奇数，所以不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_【分析】 =因为与同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是4的倍数 对于任何大于1的奇数()，当，时，都有=即任何大于1的奇数都是“智慧数” 对于任何大于4的4的倍数()，当，时，都有=即任何大于4的4的倍数都是“智慧
14、数”除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的，为，加上1和4这两个非“智慧数”，在12672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672670=2002(个)所以第2003个“智慧数”是2673【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）【分析】 （法一）设这两个数分别是和，则与两个数的末两位相同，即与的末两位相同，所以是的倍数，个位只能是或先设，则，当，时满足条件，但时较大的两位数大于不合题意再设，可求得，时满足条件 所以一共有、三组答案 （法二）,是的倍数，所以是的倍数，符合条件的只有、巩固精练1 两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_，这三个连续自然数为_【分析】 ， 所以这两个连续自然数为、，所以这三个连续自然数为、2 有个自然数相加： (和恰好是三个相同数字组成
