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1、2020高考数学一轮复习课时跟踪检测含解析课时跟踪检测(三十七) 数列的综合应用1(2019深圳模拟)设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1,则数列(nN*)的前n项和是()A.BC. D解析:选Af(x)mxm1a2x1,a1,m2,f(x)x(x1),则,用裂项法求和得Sn1.2已知函数f(n)且anf(n)f(n1),则a1a2a3a2 018()A2 017 B2 018C2 017 D2 018解析:选D当n为奇数时,n1为偶数,则ann2(n1)22n1,所以a1a3a5a2 017(37114 035)当n为偶数时,n1为奇数,则ann2(n1)22n1,所以a2a4a6a
2、2 01859134 037.所以a1a2a3a2 018(53)(97)(1311)(4 0374 035)21 0092 018,故选D.3(2017四川乐山模拟)对于数列an,定义H0为an的“优值”现已知某数列的“优值”H02n1,记数列an20的前n项和为Sn,则Sn的最小值为()A64B68C70 D72解析:选D由题意可知:H02n1,则a12a22n1ann2n1.当n2时,a12a22n2an1(n1)2n,两式相减得2n1ann2n1(n1)2n,an2(n1),当n1时成立,an202n18,显然an20为等差数列令an200,解得n9,故当n8或9时,an20的前n项和
3、Sn取最小值,最小值为S8S972,故选D.4(2019湖北襄阳联考)已知函数f为奇函数,g(x)f(x)1,若ang,则数列an的前2 018项和为()A2 017 B2 018C2 019 D2 020解析:选B函数f为奇函数,其图象关于原点对称,函数f(x)的图象关于点对称,函数g(x)f(x)1的图象关于点对称,g(x)g(1x)2,ang,数列的前2 018项之和为ggggg2 018.故选B.5(2019林州一中调研)已知数列an的前n项和为Sn,且a15,an1an6,若对任意的nN*,1p(Sn4n)3恒成立,则实数p的取值范围为()A(2,3 B2,3C(2,4 D2,4解析
4、:选B由数列的递推关系式可得an14(an4),则数列an4是首项为a141,公比为的等比数列,an41n1,ann14,Sn4n,不等式1p(Sn4n)3恒成立,即1p3恒成立当n为偶数时,可得1p3,可得2p,当n为奇数时,可得1p3,可得p3,故实数p的取值范围为2,36(2019昆明适应性检测)已知数列an的前n项和为Sn,且an4n,若不等式Sn8n对任意的nN*都成立,则实数的取值范围为_解析:因为an4n,所以Sn2n22n,不等式Sn8n对任意的nN*恒成立,即,又2n210(当且仅当n2时取等号),所以实数的取值范围为(,10答案:(,107(2019济宁模拟)若数列an满足
5、:只要apaq(p,qN*),必有ap1aq1,那么就称数列an具有性质P.已知数列an具有性质P,且a11,a22,a33,a52,a6a7a821,则a2 020_.解析:根据题意,数列an具有性质P,且a2a52,则有a3a63,a4a7,a5a82.由a6a7a821,可得a3a4a521,则a4213216,进而分析可得a3a6a9a3n3,a4a7a10a3n116,a5a8a3n22(n1),则a2 020a3673116.答案:168我国古代数学名著九章算术中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天长高3
6、尺,莞草第一天长高1尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第_天时,蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 30.477 1,lg 20.301 0)解析:由题意得,蒲草的高度组成首项为a13,公比为的等比数列an,设其前n项和为An;莞草的高度组成首项为b11,公比为2的等比数列bn,设其前n项和为Bn.则An,Bn,令,化简得2n7(nN*),解得2n6,所以n13,即第3天时蒲草和莞草高度相同答案:39(2019安阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x
7、)x2BxC1(B,CR)的图象上,且a1C.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列bnan(a2n11),求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则Snna1dn2n.又Snn2BnC1,两式比较得1,Ba1,C10.又a1C,解得d2,C1a1,B0,an12(n1)2n1.(2)bnan(a2n11)(2n1)(22n111)(2n1)2n,数列bn的前n项和Tn2322523(2n1)2n,2Tn22323(2n3)2n(2n1)2n1,Tn22(22232n)(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16,故Tn(2n3)2n16.102017年12月
8、4日0时起某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某新能源汽车假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,依等差数列逐年递增(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少),年平均费用的最小值是多少?解:(1)由题意得f(n)14.4(0.20.40.60.2n)0.9n14.40.9n0.1n2n14.4.(2)设该车的年平均费用为S万元,则有S
9、f(n)(0.1n2n14.4)1213.4.当且仅当,即n12时,等号成立,即S取最小值3.4万元所以这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小值是3.4万元11(2018淮南一模)若数列an的前n项和为Sn,点(an,Sn)在yx的图象上(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)若c10,且对任意正整数n都有cn1cnlogan.求证:对任意正整数n2,总有.解:(1)Snan,当n2时,anSnSn1an1an,anan1.又S1a1,a1,ann12n1.(2)证明:由cn1cnlogan2n1,得当n2时,cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1).又,原式得证5