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1、医用高等数学习题解答（第1,2,3,6章）- 35 -第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。设h(x)=f(x)+f(-x), 则h(-x)= f(-x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。2. 错。y=2lnx的定义域(0,+), y=lnx2的定义域(-,0)(0,+)。定义域不同。3. 错。故无界。4. 错。在x0点极限存在不一定连续。5. 错。逐渐增大。6. 正确。设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。7. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)-f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x
2、=x0处也连续，与已知条件矛盾。8. 正确。是复合函数的连续性定理。二、选择题题解1. 2. y=x (C)3. (A)4. (B)5. (B)6. (D)7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A)8. 设,则，连续，由介质定理可知。 (D)三、填空题题解1. 2. 是奇函数，关于原点对称。3. ,。4. ,可以写成。5. 设，6. 有界，故极限为0。7. 8. ,而，得c=6, 从而b=6, a=-7。9. 10. 11. 设u=ex-1，12. 由处连续定义，得：a=1。四、解答题题解1. 求定义域(1) , 定义域为和x=0(2) 定义域为(3) 设圆柱底半径为r，高为h，
3、则v=pr2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。(4) 经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为0,+)。2. ，。3. ,。4. 证明：。5. 令x+1=t, 则x=t-1。，所以：。6. 求函数的极限(1) 原式=。(2) 原式=。(3) 原式=。(4) 原式=。(5) 原式=。（P289常见三角公式提示）(6) 原式=，令，则，令，则，原式=。(7) 原式= e3。(8) 原式= e2。(9) 原式=。(10) 令，则，原式=(填空题11)。7. ，, =8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量(1) ，为无穷小量。(2) ，为无穷小量。(3) ，为
4、无穷小量。(4) ，为无穷大量。9. 比较下列无穷小量的阶，当x1时，1-x与1-x3是同阶无穷小。1-x与是等阶无穷小。10. 当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x1时，是无穷小量，当x0时，是无穷大量；当x+时，e-x是无穷小量，当x-时，e-x是无穷大量。11. 。12. ，b=1，=1，a=-113. ，14. 设，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0使得，即。15. 设，它在0,a+b上连续，且，若，则a+b就是方程的根。若，由介质定理推论知：至少存在一点x(0, a+b), 使得,即x是的根。综上所述，方程至少且个正根，并且它不超过a+b。16. (1
5、)(g)；(2)(g)；(3)(周)。17. 设，则F(x)在a,b上连续，由介质定理推论知：至少存在一点x(a, b), 使得。即。所以与在(a,b)内至少有一个交点。第二章 一元函数微分学习题题解(P66)一、判断题题解1. 正确。设y=f(x), 则。2. 正确。反证法。假设在x0点可导，则在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。4. 错。如图。5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。7. 错。设, ，则：，显然在点的导数为1，在点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。8. 错。设和，显然它们在
6、(-,+)上是单调增函数，但在点的导数为0，的导数不存在。二、选择题题解1. 设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为：过得，又有，解方程组得：，切线方程为：。(A)2. 可导一定连续。(C)3. 连续但不可导。(C)4. 因为。(B)5. ，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。6. 可导。(C)7. ，。(B)8. 。(B)三、填空题题解1. ,。2. 3. , 。4. 。5. ，当时，单调调减小。6. 。7. ，当时，由减变增，取得极小值。8. ，。四、解答题题解1. 2. (1)不存在，在不可导。(2) ，在可导，且。3. 不可导。4. 过与两
7、点的割线斜率为，抛物线过x点的切线斜率为，故，得，即为所求点。5. 过点作抛物线的切线，设切点为，应满足方程，若方程有两个不等的实根x，则说明过点可作抛物线的两条切线。整理方程得：，当时，方程有两个不等的实根。也就是要满足即可。6. 求下列函数的导数。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 7. 求下列函数的导数。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8. ，。9. 求下列函数的导数。(1) ，(2) ， (3) ,，,(4) ，, 10. 求下列函数的n阶导数。(1) ，(2) ，(3) ，11. 求下列隐函数的导数。(1) ，(2) 同填空题3。, 。(3) (4) 12
8、. 求下列函数的微分。(1) (2) (3) (4) 13. 求、近似值。(1) 设，则，取，则，故(2) 设，则，取，则，故14. 证明下列不等式。(1) 设，则，在上单调递减。当时，即，当时，即，当时，即，综上所述，当时，。(2) 设,当时,有,即；设,当时,有,即；综上所述，当时，有。(3) 设，则，当时,，有，即；当时,，有，即；综上所述。15. 求下列函数的极限。(1) =(2) =0(分子和分母分别求n阶导数，使nq)(3) =(4) =(5) =(6) =16. 证明下列不等式。(1) 令,因为f (x)=cosx-10 (x0), 所以当xf(0)=0 sinxx ；令g(x)
9、=, 则：g(x)=，g(x) = - sinx+x, g(x)= - cosx+10 (x0), 有g(x)g(x) g(0)=0g(x)g(x) g(0)=0 sinxx-x3/6。综上所述： xsinx0,有极小值，17. 确定下列函数的单调区间。(1) ，定义域(-,+)，令，解得，增减性如下表：x(-,-)-(-,)(,+)y+0-0+y(2) ，定义域(-,+)，令，解得，均是孤立驻点，故在(-,+)单调递增。x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+0-0+y (3) ，定义域(-,+)，=，令，解得，增减性如右表： x(-1,0)0(0,+)y-0+y极小值为018. 求下
10、列函数的极值。(1) ，定义域(-1,+)，=，令，解得，极值见右表：x(0,)(,+)y-0+y极小值为(2) ，定义域(0,+)，=，令，解得，极值见如右表：(3) ，定义域(-,0)(0,+)，令，解得，有极大值，有极小值。19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。(1) 是-1,1上的连续函数，减函数且无驻点，但有一个不可导点，它不在-1,1上，故，。(2) 是-10,10上的连续函数，此函数可用分段函数表示，令，得：，比较得：，。(3) 是-5,5上的连续函数，此函数可用分段函数表示，分段点为，无驻点。，比较得：，。20. ，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有，解之得：，。21
11、. ，令，解得，可验证是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。，得证。22. ，两端对t求导数：23设，。24. (1)求出现浓度最大值的时刻：,令，解得唯一驻点。，=有极大值。也为最大值。(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令，解得唯一驻点。,=有极小值。也为最小值。25. 求何时达最大值。，令，得：。由，而w=341.5，由得无解。由，得：是唯一驻点。，当时，有极大值。也为最大值。26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点x+0-0+y凹拐点3/4凸拐点3/4凹(1) ，定义域(-,+)，令，得，列表讨论。(2) ,定义域(-,+),令,得,当时,曲线
12、是凹的。当时,曲线是凸的。拐点为：。27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。(1) ，定义域(-,+)，是偶函数，有水平渐进线，x0+0-+0-0-0+y拐点极大拐点(2) ，定义域(-1,1)，是奇函数，有垂直渐进线，无驻点，但当时导数不存在。，令，得。x-1(-1,0)0(0,1)1无+-+无无-0+无y拐点0(3) ，定义域(-,+)，是奇函数，无渐进线。，令，得驻点，令，得，列表讨论。,x0+0-0+-0+y极大拐点极小(4) ，定义域(-,+)，是偶函数，无渐进线。，令，得驻点，而，列表讨论。x0-0+y极小1(5) ，定义域(-,+)，是奇函数，=，有两条渐进线：。无驻点，令，
