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1、北师大版九年级数学知识点汇总第一章 特殊平行四边形一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 （3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、面积：S平行四边形=底高二、菱形1、定义：有
2、一组邻边相等的平行四边形是菱形。2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。4、面积：S菱形=底高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相
3、平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4、面积：S矩形=底高四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。 （2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）正方形既是中心对称图形，又是
4、轴对称图形（四条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形=菱形+矩形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。4、面积：S正方形=边长的平方；S正方形=对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形：一般四边形平行四边形；平行四边形平行四边形；菱形矩形；矩形菱形；正方形正方形。第二章 一元二次方程一、定义：我们把形如的方程，称为一元二次方程。其中，分别称为二次项，一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。二、解一元二次方程的方法1、配方法：移项二次项系数化为
5、1配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）开平方（有正负两个结果）求解写根。2、公式法：化为一般形式（）找出，（记得带上符号）代入根的判别式（）代入求根公式（）求解写根。3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。 （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式： 完全平方公式： （3）十字相乘法：三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程 （1）当时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当时，方程有两个相等的实数根。 （3）当时，方程没有实数根。四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理） 如果方程有两个实数根，那么，五、应用一元二次方程
6、（1、几何面积问题；2、销售问题） 审题寻找数量关系和等量关系设未知数（直接假设和间接假设）列一元二次方程解方程检验作答。第三章 概率的进一步认识一、列表法和化树状图法1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率第四章 图形的相似一、成比例线段1、定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成
7、比例线段，简称比例线段。2、性质：（1）基本性质：如果，那么； 如果，那么 （2）等比性质：如果，那么 （3）合比性质：如果，那么，二、平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例三、相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方四、相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似 （2）两边成比例且夹角相等的两个三
8、角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方五、黄金分割：点把线段分成两条线段和 ，如果，那么称线段 被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即 六、位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法： 确定位似中
9、心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为第五章 投影与视图一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影二、三视图1、
10、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高 （2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽 （3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正 （2）主视图和左视图的高平齐 （3）左视图和俯视图的宽相等第六章 反比例函数一、定义：一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。自变量的取值范围是不等于0的一切实数二、表达式：1、； 2、； 3、三、图象与性质1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数图象所在象限增减性第一、
11、 三象限在同一象限内，随的增大而减小第二、 四象限在同一象限内，随的增大而增大越大，函数图象越远离坐标原点3、反比例 函数比例系数的几何意义 如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点 （2）轴对称：对称轴为直线和直线对边对边邻边邻边斜边斜边AACCBBbb第七章 直角三角形的边角关系一、锐角三角函数 在中，则的三角函数为定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角)二、特殊角的三角函数值三角函数3045601三、解直角三角形1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ，2、解直角三角形的类型和解法已知条件图形
