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1、勾股定理各种题型:一:勾股定理面积相等法:方法1:方法2:方法3:二:方程思想和勾股定理结合的题目1.(2016春宜春期末)一旗杆在其的B处折断,量得AC=5米,则旗杆原来的高度为()A米B2米C10米D米【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】可设AB=x,则BC=2x,进而在ABC中,利用勾股定理求解x的值即可【解答】解:由题意可得,AC2=BC2AB2,即(2x)2x2=52,解得x=,所以旗杆原来的高度为3x=5,故选D【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2.(2016春防城区期中)如图,在ABC中,B=40,EFAB,1=50,CE=3,EF比CF大1,则EF的长为(
2、)A5B6C3D4【考点】勾股定理;平行线的性质菁优网版权所有【分析】由平行线的性质得出A=1=50,得出C=90,设CF=x,则EF=x+1,根据勾股定理得出方程,解方程求出x,即可得出EF的长【解答】解:EFAB,A=1=50,A+B=50+40=90,C=90,设CF=x,则EF=x+1,根据勾股定理得:CE2+CF2=EF2,即32+x2=(x+1)2,解得:x=4,EF=4+1=5,故选:A【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理;熟练掌握平行线的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键3.(2015春蚌埠期中)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9
3、cm,将此长方形折叠,使点B与D重合,折痕为EF,则BE的长为()A3cmB4cmC5cmD6cm【考点】翻折变换(折叠问题)菁优网版权所有【分析】根据折叠的性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=9x,然后在RtABE中,利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解:长方形折叠点B与点D重合,BE=ED,设AE=x,则ED=9x,BE=9x,在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即32+x2=(9x)2,解得x=4,AE的长是4,BE=94=5,故选C【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键4.(2008秋奎文区校级期末)在我国古代数学
4、著作九章算术中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如图所示,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面那么水深多少?芦苇长为多少?【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答【解答】解;设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,根据勾股定理得:,解得:x=12(尺),芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),答:水池深12尺,芦苇长13尺【点评】此题是一道古代问题,体现了我们的祖先对勾股定理的理解,也体现了我国古代数学的辉煌成就三:勾股定理应
5、用:求最短距离问题1.(2014秋环翠区期中)如图,长方体的底面边长为1cm和3cm,高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短需要()A12cmB11cmC10cmD9cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】要求所用细线的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】解:将长方体展开,连接A、B,则AA=1+3+1+3=8(cm),AB=6cm,根据两点之间线段最短,AB=10cm故选C【点评】本题考查了平面展开最短路径问题,本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决2.(2016春繁昌县期末)
6、如图,是一长、宽都是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱,BC上有一点P,PC=BC,一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()A6cmB3cmC10cmD12cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】将图形展开,可得到安排AP较短的展法两种,通过计算,得到较短的即可【解答】解:(1)如图1,AD=3cm,DP=3+6=9cm,在RtADP中,AP=3cm;(2)如图2,AC=6cm,CP=3+3=6cm,RtADP中,AP=6cm综上,蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm故选A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题,熟悉平面展开图是解题的关键3.(20
7、16大悟县二模)如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是()A13cmB4cmC4cmD52cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理【解答】解:由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,x2=(124)2+202,所以彩带最短是52cm故选D【点评】本题考
8、查了平面展开最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决4.(2016游仙区模拟)长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm,在罐内点E处有一小块饼干碎末,此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ABCD中心的正上方2cm处,则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm()A7BC24D【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短,根据勾股定理即可计算【解答】解:若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过,蚂蚁到达饼干
9、的最短距离如图1:HE=7,若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过,则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2:HE=故选B【点评】考查了平面展开最短路径问题,此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点,然后把立体的长方体放到一个平面内,求出最短的线段5.(2015秋宜兴市校级期中)如图,一圆柱高8cm,底面半径为cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是10cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】此题最直接的解法,就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答【解答】解:底面圆周长为2r,底面半圆弧长为r,即半圆弧长为:2=6(cm),展开得:BC=8cm,AC=6cm,根据勾
10、股定理得:AB=10(cm)故答案为:10【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短,解题的关键是根据题意画出展开图,表示出各线段的长度四:网格问题(简单)1、在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,则ABC中BC边上的高为 答案:设ABC中BC边上的高为hAB 2 =5,AC 2 =20,BC 2 =25,BC 2 =AB 2 +AC 2 ,A=90,S ABC = ABAC= BCh,即 =5h解得,h=2故答案是:22. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”如图(一)中四边形ABCD就是一个“格点四
11、边形”(1)求图(一)中四边形ABCD的面积;(2)在图(二)方格纸中画一个格点三角形EFG,使EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形图(一) 图(二)答案:解:(1)方法一:S6412方法二:S462141342312(2)(只要画出一种即可)3、如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上请按要求完成下列各题:(1)画ADBC(D为格点),连接CD;(2)试判断ABC的形状?请说明理由;答案:(1)图象如图所示;(2)由图象可知AB=1+2=5,AC=2+4=20,BC=3+4=25,BC=AB+AC,ABC是直角三角形。4、如图,是一块由边长为20cm
12、的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点A处,它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食,则鸽子至少需要走多远的路程?答案:AB=5cm,BC=13cm所以其最短路程为18cm(难题)5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。 (1)直接写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少? (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。 【答案】(1)单位正三角形的高为,面积是。 (2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。 (3)过A作A
13、KBC于点K(如图所示),则在RtACK中, ,故五:方位角问题1、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了m到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点(1)求A、C两点之间的距离;(2)确定目的地C在营地A的什么方向?2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗? 答案:如图,甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小
14、时,走了12千米,即OA=12乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,走了5千米,即OB=5在RtOAB中,AB2=122十52=169,AB=13,因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米1513,甲、乙两人还能保持联系答:上午10:00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系3、如图,甲乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40航行,乙船向南偏东50航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多少?答案:从两船航行的方向看,北偏东40度和南偏东50度的夹角为90ACAB甲船速度每小时16海里,所以AC=163=48海里AB=BC-AC=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时:36