小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)

《小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第八章 小波分析理论及应用16第八章 小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。1822 年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础 1。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析 2。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是 ，定义如式(8.1-1)、 (8.1-2)

2、2， (8.1-1)2,0Lxfkikxecxf其中 (8.1-2)dfikx201然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明 3：从任一个平方可和的函数 出发，为了得到一个连续函数 ，只需或者增)(xf )(xg大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)(8.1-3)dxefFj(8.1-4)xfj21通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为

3、冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到 ，必须有关于 f(x)的过去和未来的所有知识，F而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是 的任意有限区域的信息F都不足以确定任意小区域的 f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都

4、拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射第八章 小波分析理论及应用17信号的瞬时与持续时间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论 3。 ”为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念：定义 8.1-1 若 选择得使 W 与它的傅里叶变换 满足：RL2WRLRLt22,那么使用 W 作为窗函数，在式 (8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换

5、”(STFT)：(8.1-5)dtbtfefgjb 当窗函数选择为高斯(Gaussian) 函数时，则为 Gabor 变换 2。STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。小波分析方法的出现可以追溯到 1910 年 Haar 提出 Haar 规范正交基，以及 19

6、38年 Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的 L-P 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是 1984 年法国地球物理学家 Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学方面所做的探索主要是 R. Coifman 和 G. Weiss 创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了 Stein 和 Weiss 的空间 的无条件基。直到 1986 年，法国1H数学家 Meyer 成功地构造出了具

7、有一定衰减性的光滑函数 ，它的二进伸缩与平移构成 的规范正交基。此前，人们普遍认为这是Zkjttjjkj ,:2/,RL2不可能的，如 Daubechies,Grossman 和 Meyer 都退而研究函数系 构02/0kbtajj成 的框架的条件去了。RL2Lemarie 和 Battle 继 Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987 年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的 Mallat 快速小波分解和重构算法。1988 年 Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman, Meyer 等

8、人在 1989 年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在 1990 年构造出来。1992 年 A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视 4,5。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤 6，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小第八章 小波分析理论及应用18波被认为是第二代小波 5。小波

9、理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。8.2 小波变换及其基本性质8.2.1 连续小波变换， 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：RLtf2tf(8.2-1)0,2/1 adtbtfabWTf 或用内积形式：(8.2-2)baff,式中 abttba2/1,要使逆变换存在， 要满足允许性条件：t(8.2-3)dC2式中 是 的傅里叶变换。t这时，逆变换为(8.2-4)2,1,adbWTttf fba这个常数限制了能作为“基小波（或母小波） ”的属于 的函数 的类，尤其是C RL若还要求 是

10、一个窗函数，那么 还必须属于 ，即1dt故 是 R 中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得 在原点必定为零，即 (8.2-5)00t从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。连续小波变换具有如下性质：性质 1（线性）：设 ，则thtgtfbaWTbaWThgf ,第八章 小波分析理论及应用19性质 2（平移不变性）：若 ，则 。平移不baWTtff,baWTtff,变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。性质 3（伸缩共变性）：若 ，则 ，其中batff,cbactff,1c0。性质 4（冗余性

11、）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数 存在许多可能的选tba,择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。8.2.2 连续小波变换的离散化由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取，这时Zkjkbj ,;21, kttt jjkbaj 2/2,1, 常简写为： 。tkj,变换形式为： kjjf fWT,2,1为了能重构信号 ，要求 是 的 Riesz 基。tZkj,RL2定义 8.

12、2-1 一个函数 称为一个 R 函数，如果 在下述意义上是一个L2 Zkj,Risez 基： 的线性张成在 中是稠密的，并且存在正常数 A 与 B，Zkj,2，使BA02,2,2, lkjjkkjlkj cBccA对所有二重双无限平方可和序列 成立，即对于 的kj, 2,2,jkjlkj c第八章 小波分析理论及应用20成立。kjc,假定 是一个 R 函数，那么存在 的一个唯一的 Riesz 基 ，它在意义RL2 Zkj,Zmlkjmkljlkj,上与 对偶。这时，每个 有如式(8.2-6)的唯一级数表示：kj, tf2(8.2-6)jkkjjtftf ,特别地，若 构成 的规范正交基时，有Z

13、kj,RL2 kjkj,重构公式为：(8.2-7)tftfj kjkj,8.3 多分辨分析与 Mallat 算法8.3.1 多分辨分析Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的 Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当 7。定义 8.3-1 空间 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 ，使其具有RL2 ZjV以下性质：（1） 单调性（包容性） 21012VV（2） 逼近性： 0,jfjfRLclose（3） 伸缩性：12jjVtt（4） 平移不变性： ZkktVt jjj ,（5）R

14、iesz 基存在性：存在 ，使得 构成 的 Riesz 基。0kjt2jV在定义 8.3-1 中， 对应于 分辨率，在有些文献中 2,8， 对应于 分辨率，这jj2jj2第八章 小波分析理论及应用21时，性质（1） 、 （3）中子空间的下标要做相应的变化。定理 8.3-1 令 是 空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数ZjVRL2使得 (8.3-1)RLt2 Zktjjkj ,/,必定是 内的一个标准正交基，其中 称为尺度函数。jV式(8.3-1)中的系数 是为了使 的 范数为 1。引入尺度函数的目的是为了构2/jkj,2L造正交小波基，图 8.3-1(a)为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，图(b)是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。(a)尺度函数的图形 (b)尺度函数的傅里叶变换图 8.3-1 DB9 尺度函数若 生成一个多分辨分析，那么 也属于 ，并且因为 是 的t0V1Zk:,11V一个 Riesz 基，所以存在唯一的 序列 ，它描述尺度函数 的两尺度关系：2l)(kh(8.3-2)kktt2由性质（1）可知 ，所以ZjVj,1(8.3-3)1jjjWV反复应用式(8.3-3)，得(8.3-4)jZjRL2同样，象 生成