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1、1高等数学（B） 教学大纲课程简介高等数学是大学里工科、理科以及一些文科专业的必修课程，是一门数学基础课程开设本课程的主要目的，一方面是要使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，从而为学好专业课知识和进一步学习深层次的数学知识打好坚实的基础；另一方面是要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力本课程以一元函数微积分学、多元函数微积分学、空间解析几何、无穷级数和常微分方程为主干内容在授课过程中，尽量做到从实际问题出发引入有关概念，最后理论知识也落实到对实际问题的解决上另外对教学大纲中有些内容的理论证明部分可适当
2、精减，力图有足够的时间让学生在实际中体会其结论,也可让学生逐渐改变一直以来养成的要教师手把手教的不良习惯，培养他们的自学习惯一课程说明随着社会和经济的发展，人们对自然界和社会生活的各种现象提出了精确量化描述的要求，于是使得数学在各种领域发挥着巨大的作用如今，计算机正在广泛地应用到各行各业中，计算机技术也在以飞快的速度发展，更要求未来的人才必须具备良好的数学功底所以， 高等数学成为大学里工科、理科以及一些文科专业的必修课程，是一门数学基础课程通过这门课程的学习，一方面能使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，从而为学好专业课知识和进一步学习深层次的数学知识打好坚实的基础
3、；另一方面能培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力本课程分两个学期授课，共安排 136 课时选用的教材是同济大学应用数学系主编的高等数学 （少学时） ，分上、下两册第一学期安排 16 周授课，每周 4 个课时，共为64 个课时，授课内容包括：函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分等第二学期安排 18 周授课，每周 4 个课时，共为 72 个课时，授课内容包2括：定积分的应用、空间解析几何与向量代数，多元函数微分法及其应用、重积分，无穷级数、微分方程等本大纲适用于化学、生物等本科专业一年级平台式教学。二学时
4、分配学期 章 节 标 题 课时数第一章 函数与极限 18第二章 导数与微分 10第三章 微分中值定理与导数的应用 14第四章 不定积分 12第 一 学 期第五章 定积分 10第 一 学 期 学 时 合 计 64第六章 定积分的应用 6第七章 空间解析几何与向量代数 8第八章 多元函数微分法及其应用 20第九章 重积分 12第十章 无穷级数 14第 二 学 期第十一章 微分方程 12第 二学 期 学 时 合 计 72学时总 计 136三大纲内容第一章 函数与极限18 学时【基本要求】理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了3解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性
5、等基本性态；理解复合函数、反函数和分段函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；理解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念理解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系；了解极限的性质与极限存在的两个准则掌握极限的性质及四则运算法则，会利用两个重要极限求极限；理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值性定理）及其简单应用。【基本内容】1. 函数的概念及表示法, 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、
6、分段函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数。2. 数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的基本性质及无穷小的比较。3. 极限的四则运算法则，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则） ，两个重要极限；函数连续与间断的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。第二章 导数与微分10 学时【基本要求】理解导数的概念及函数的可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数及复合函数的求导法则，会求反函数、分段函数的导数；了解高阶导数的概念，会求简单函
7、数的高阶导数；掌握隐函数求导法以及对数求导法，会求隐函数的和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。【基本内容】1. 导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线。2. 导数的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，高阶导数的概念。43. 微分的概念和运算法则，一阶微分形式的不变性。第三章 微分中值定理与导数的应用14 学时【基本要求】理解罗尔（Roll）定理、拉格朗日（lagrange）中值定理的条件和结论，掌握这两个定理的
8、简单应用；会用洛必达（LHospital）法则求未定式极限；了解并会用泰勒（Taylor）定理；掌握用导数判断函数的单调性的判别方法及其应用，掌握函数的极值、最大值和最小值的求法（含解较简单的应用题） ；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线；掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形；了解弧微分的概念。【基本内容】1 罗尔（Roll）定理，拉格朗日中值定理；洛必达（LHospital）法则；泰勒（Taylor）定理。2函数单调性的判定法 函数图形的凹凸性及其判定 函数图形的拐点及渐近线的求法 函数图形的描绘。3. 函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单
9、应用 弧微分。第四章 不定积分12 学时【基本要求】理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分；了解积分表的使用。【基本内容】1. 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。2. 不定积分的换元积分法与分部积分法。3. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，积分表的使用。第五章 定积分10 学时【基本要求】5了解定积分的概念和基本性质；了解定积分中值定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式；了解变上限定积分定义的函数并会求它的导数；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解
10、无穷限的反常积分和无界函数的反常函数的概念，并会计算两类反常积分，了解反常积分收敛和发散的条件。【基本内容】1 定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数2 牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。3 定积分的换元积分法与分部积分法。4 反常积分的概念和计算。第六章 定积分的应用6 时【基本要求】会利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积以及平行截面面积为已知的立体体积，会利用定积分求解其它简单的应用问题【基本内容】定积分的应用第七章 空间解析几何与向量代数8 时【基本要求】理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的
11、运算（线性运算、数量积、向量积） ，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及其求法；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；会求点到直线以及点到平面的距离；了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。【基本内容】61空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向
12、量积的概念及运算；2 两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦。3 平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角。4点到平面和点到直线的距离曲面方程和空间曲线方程的概念，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。5常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。第八章 多元函数微分法及其应用20 学时【基本要求】了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质；了解多元函数偏导数和全
13、微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件；掌握多元复合函数偏导数的求法；会求隐函数（由一个方程确定的隐函数）的偏导数；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题【基本内容】1 多元函数的概念，二元函数的几何意义。2二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质。3多元函数偏导数的概念与计算，多元复
14、合函数的求导法与隐函数的求导法，二阶偏导数。4全微分。5空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。6方向导数和梯度的概念及其计算。7多元函数极值和条件极值的概念， 二元函数极值的充分条件；多元函数极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。7第九章 重积分12 学时【基本要求】了解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理；掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法；会用二重积分求一些量。【基本内容】1 二重积分的概念及基本性质。2 二重积分的计算和应用。第十章 无穷级数14 时【基本要求】了解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数
15、的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件；掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；了解幂级数的收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分） ，会求简单幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握 、sinx 、cosx、ln(1+x)和 的麦xe1x克劳林展开
16、式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷充分条件，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。【基本内容】1常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与 p 级数以及它们的收敛性。2正项级数收敛性的判别法。3交错级数与莱布尼茨定理。84任意项级数的绝对收敛与条件收敛。5函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，几个常见函数
