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1、-精选财经经济类资料- 如何证明极限不存在(精选多篇) 证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:limx4y2x6+y6;limx2y2x2y2+2.证明一般地,
2、对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有limx4y2x6+y6=limx0k2x6x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x趋近于,则有l.2是因为定义域d=|x不等于y吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim趋向于无穷大/证明该极限不存在lim/=lim/-8y/=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim趋向于无穷大/极限不存在4如图用定义证明极限不存在谢
3、谢!反证法若存在实数l，使limsin=l，取=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，记x1=1/x，有sin=1，记x2=1/x，有sin=-1，使|sin-l|和|sin-l|同时成立。即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|-|=2发生矛盾。所以，使limsin=l成立的实数l不存在。如何证明极限不存在反证法若存在实数l，使limsin=l，取=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，记x1=1/x，有sin=1，记x2=1/x，有sin=-1，使|sin-l|和|sin-l|同时成立。即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|-|=2发生矛盾。所以，使limsi
4、n=l成立的实数l不存在。反证法：一个数列an极限存在,另一个数列bn极限不存在假设两数列之和cn的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在矛盾所以原命题成立令y=x,lim趋于xy/x+y=limx/=0令y=x-x,lim*b因此二项式定理下面用二项式定理计算这一极限：用二项式展开得：=1+*+*+*由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+,得0。因此总的结果是当n-+，二项展开式系数项的各项分子乘积与的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式
5、一化为：=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/n!当n-+时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。证明二重极限不存在如何判断二重极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limxx0yy0f不存在,通常的方法是:找几条通过定点的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f趋于不同的值,则可判定二重极限limxx0yy0f不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线
6、的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limxx0yy0fg的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f-g=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-=0时,所得的结论就不同1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，一g=0趋近于来讨论，一0g，y。可能会出现错误，只有证明了不是孤立点后才不会出错。o13a1673-38780l_0l02_02如何判断二重极限不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极
7、限的定义知，要讨论limf不存在，通常x10yy0的方法是：找几条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这些曲线趋于时，f趋于不同的值，则可判定二重极限limf不存在，这一方i10ry0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜iogx，yyy0断其不存在时，不少人找的曲线是f一g：0，这样做就很容易出错。3当沿曲线y=-x+x趋于时，极限为lim/x=-1;当沿直线y=x趋于时，极限为limx/2x=0。故极限不存在。4x-y+x+yf=x+y它的累次极
8、限存在：x-y+x+ylimlim=-1y-0x-0x+yx-y+x+ylimlim=1x-0y-0x+y当沿斜率不同的直线y=mx,-时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。不如何证明极限不存在一、归结原则原理:设f在u0内有定义，limf存在的充要条件是：对任何含于x?x0u且以x0为极限的数列?xn?极限limf都存在且相等。n?例如：证明极限limsinx?01x不存在12n?证：设xn?1n?,xn?2，则显然有xn?0,xn?0，si由归结原则即得结论。?0?0,si?1?1?xnxn二、左右极限法原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极
9、限不存在。例如：证明f?arctan当x?0时的极限不存在。1x)?1x)?2x=0，limarctan?lim?arctan，所以当x?0时，arctan的极限不存在。三、证明x?时的极限不存在原理：判断当x?时的极限，只要考察x?与x?时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f?ex在x?x?时的极限不存在x?x?xxxx因为lime?0，lime?；因此，lime?limex?所以当x?四、柯西准则?时，ex的极限不存在。0原理：设f在u内有定义，limf存在的充要条件是：任给?x?x0?0，存在正数?，使得对任何x?,x?u0，使得f?f?0。 例如：在方法一的例
10、题中，取?0?1，对任何?0，设正数n?x?1n?,x?1n?1?，令?2即证。五、定义法原理：设函数f在一个形如的区间中有定义，对任何a?r，如果存在?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f?a?0,则f在x?x?时没有极限。 例如：证明limcosx不存在设函数f?cosx，f在中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何?0，取?0?0 反证法 数学归纳法极限证明1.设f在上无穷次可微，且f?，求证当k?n?1时，?x， limf?0 x?2.设f?0sinntdt，求证：当n为奇数时，f是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f是一线性函数与一以2?为周期的周期函
11、数之和 xf?0?xn?3.设f在上无穷次可微；ff?0xlim求证：n?1，?n，0?xn?xn?1，使f?0sin)?1求证limf存在 4.设f在上连续，且xlim?x?5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn?xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n?xn?n7.用肯定语气叙述：limx?f?x?.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x?a,b?,极限limf?t?存在且有限。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设
12、limn?an?a,证明：lima1?2a2?nana?. n?2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若?af?x?dx收敛且limx?f?x?，则?0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c?n，其中c是与n无关的常数，limn?n?0.15.设f?x?在上连续，且f?0,记fvn?f,?n?expb?a，试证明：n1blnfdx并利用上述等式证明下?ab?a式2?2?lndx?2lnrf?f?kb?a34.设f?k,试证明lima?0?b?0?35.设f连续，?0fdt，且limx?0论?在x?0处的连续性。f，求?，并讨?ax36 给出riemann积分?afdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?s。 n?ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x?x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,?上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rn?f?xn?0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f
