《初中裂项求和问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中裂项求和问题.doc（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学解题研究：裂项求和问题（分数类）难道者：四川崇州 平生曜曜摘要：本文由浅入深介绍了初中数学中一些特殊分数串求和的个例，由最初的非裂项归纳手段逐渐过渡到后期的裂项式高效手段，并在本文所议范围内总结了裂项求和的右脑记忆诗。文中涉及了数学解题的部分规律，如数学思想、思维策略等，还模拟了一场教学启发的理想化进程。最后笔者把数学母题比作一颗星舍，解题就好比是在房舍里整理物饰，有时我们会触碰到一些窗户，于里外窥，会洞见星野，星夜灿烂，牵引导航。文末的最后一道思考题为笔者偶开了一扇视窗，深为动情，随饮醉吟唱，为觅知音，抛砖引玉，不知几何！关键词：单独形式，申述，归纳，转化，旧模式，新环境，做题不能白
2、做，过程与结论，窥望备注：文本中没有明显标记行文脉络，请留意“问题（一）”至“问题（七）”的字眼即可！正文“裂项求和”这个概念所指代的是一种专门针对“某类题”的解题方法，自从此法被命名为“裂项求和”而被考生广而所知以后，他们便开始以这种高效而冰冷的手法偶逢时机地收割分数。中、高考分数是进入名校的敲门砖，大气文凭是进入理想行业的敲门砖，足见提高考分是考生的迫切需要，是家长的迫切期待。提高考分总是主管部门难以释怀的心理情愫，更是达官草民观想教学有效性的无情准则。面对数学考卷上百分之七十到八十的中、低档考题，考生若不能快速而准确地作答，就已经在时间的掌控上沦为弱者，要想在更短的时间内抓获难题分数，若
3、用痴人说梦形之有过，那用力不从心形之可否？裂项求和当属那百分之二十到三十的难题一类，考生在考场若有幸重逢，且能速速斩之，足足可叹三生有幸。但命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？如果裂项求和是初中教材上的基本技能，那么将之设成中考题的概率极高，但若不是，那么命题者偶却将之铺于考卷之上时，意欲又作何为？是想检验考生的运气吗？你看，这个考生恰好掌握了裂项求和的技能，他一下就把分数抓稳当了！这能是命题者的意图吗？真若如此，把烫手类分数全寄挂在考生的运气上，试问这样的考试何以有公平性可言？所以目前中考若选用裂项求和作为考题，那它一定不会以如下外貌形式单独出现在考生眼前：单独形式（1）：求的值.单独形式（2
4、）：求的值.单独形式（3）：求的值.单独形式（4）：求的值.单独形式（5）：求的值.单独形式（6）：求的值.单独形式（7）：求的值.以上7个外貌形式，（1）、（2）当属一类，（3）可勉强自成一类，（4）、（5）、（6）实属一类，（7）必单成一类。但这四种类型都指向裂项求和某一具体题型，都有相应的技能策略能有效破之。如果这种“非教材基本技能”的试题以“上述外貌之凶相”公诸于考场，那么不免有人运气极佳，当然见好就收，随之感叹题海游泳真是靠谱；而有人迷雾重重，自然无能为力，却要吐槽考试就像打打酱油；但有人迷雾渐散，然则力不从心，必然悲叹考试时短无不痛苦。这公平吗？个中理由种种：有的老师讲过，有的老师
5、还未讲过；有的老师粗略讲过，有的老师细致讲过；有的考生练过，有的考生还未练过；有的考生练得一头雾水，主动遗忘；有的考生练得似是而非，难辨真伪；有的考生练得洞若观火，修成条件反射；有的考生练致明心有悟，修成思维之术。如果考生凭借“条件反射”而抓到分数，那么这是数学教学的成效，让我们去畅游题海吧！如果考生凭借“思维之术”而挣到分数，那么这是数学教育的功效，让我们去研究解题吧！教学卓有成效，这是敲门砖，它能让人跨进长足发展的平台，教育欲求功效，这不是闭门羹，这是手拽庭院敲门砖，腰束厅堂金钥匙。追寻数学教学与数学教育的平衡地带是笔者呈现弊文之初衷，诸亲且容我昏眼欲见明晰，拙手胡作细微，抛砖引玉一盘，只
6、期奇文共赏。命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？还是回归这个问题继续行文，如果命题者欲命制裂项求和的中考题，那么他必然还要在题干上雕花树叶，叶儿易在解题思路上给考生铺路，花儿能在解题思维上让考生明悟。说白了就是要将裂项求和问题以“阅读理解”的外貌呈现，然后设立问题串，让考生逐一解答，有难易梯度，层层推进。这样考生即使抓不到满分，也可以尽量多挣分，命题者意在关键处考查考生识别变式的能力，触摸考生的阅读领悟的能力，以及能否恰逢时机地重组与调配新旧知识的能力，这明明就是在品酒数学教育，翁之意不在布局分数，在乎思维导航引领之间也，足见命题用心可谓良苦。废话少说，上题来，先踩踏那些单独形式，让我们去历经一
7、个跌宕起伏的火热过程探索，去捕捉一些高效简练的冰冷数学结论。请有空闲之读者徐徐推进问题（一）至问题（七）的探程：问题（一）：求的值.申述1：假设学生能识别出这种裂项题型，并熟练掌握了裂项技能，那么他自然能快速作答.解：原式申述2：假设学生对裂项求和的大名，以及对类似于裂项求和的操作手法，闻所未闻，更假设这是学生自己臆造的一道题，那么他自然不会肯定此题应有简便方法，甚至他压根就不会去探索此题有无所谓简便方法。他充其量大致去观想一下，哦！原式可化为：，然后利用通分绝对可以做出来，接下来他会自嘲道：“谁会闲着没事去思考这个毫无价值而又不着边际的问题，我承认这个问题是有结果，但这与没有结果难道会有分别
8、吗？”申述3：假设这是一道考试题，且假设此考生对裂项求和闻所未闻，又假设此考生是一个爱动脑筋，且又知道“怎样去动脑筋”的人，最后还必须针对考试策略问题补充一个假设，即该考生把卷子上的其它题都做好了，他目前正为此题烧脑，有强烈的挣分决心！那么，这个聪明的娃儿会怎样去想呢？或者说平时遇到这道题，他的老师该怎样引导他去探索呢？对了！当我们在思考“复杂的大数字”问题，亦或是“抽象的字母”问题时，如果我们感到一头雾水，不明就里，那么我们可以先借助一些“具体而简单”的数字来充当我们的“助探”，即所谓投石问路。等悟出了个中玄机，我们再回首处置，才显游刃有余，此恰迎合见机行事一说，可谓不见玄机，不去莽撞。站在
9、思维方式策略的角度来看，这是暂弃“一般性”，先究“特殊性”。探索：我们暂时抛弃原题，先来探究一些简单的复杂“辅助题”：、求答：；、求答：；、求答：；如果还未见个中玄机，我们可以再多投几个石头，直到前路明朗！、求答：；当序列号为“n”时，容易归纳出其中规律，回归“一般性”：现在考生可以开始解题作答：求的值.解：原式充其量，像这样来弥补：解：笔者按：但如果认为“问题（一）”到此已宣告解决，那未必然！且继续往下看：问题（二）：求的值.申述1：假设甲考生参与了“问题（一）”的听讲，并且他“自认为记住”了下列结论：再假设他还没有跨越“简单模仿”，不会顺利应对“变式训练”，那么他可能产生以下思维：（错解一
10、）解：原式求的值.（错解二）解：原式申述2：假设乙考生同样经历了“问题（一）”之火热而丰富的思维过程，并且“安全地记住”了我们归纳出的以下这个冰冷而美丽的数学结论：那么这个乙考生自然就会识别出“问题（一）”与“问题（二）”的“起点”是不同的，他知道记忆中的“旧模式”不能照搬运用到当下遭遇的“新环境”中。但乙考生在“问题（一）”之火热而丰富的思维过程中学到了一些思维的伎俩，即：暂时放置一般，先去探究特殊，而后再从特殊现象去归纳一般规律。于是乙考生先开始这样探索一些辅助题：、当时，、当时，；、当时， 、当时，答案与的取值有怎样的关系？回答是：杂乱无章！再投一个石头看看，如果情况不妙，就果断放弃！、
11、当时，果然规律很不明朗，看来再投更多的石头也击不出“心灵的水花”，算了撤飘走人！笔者按：此情此景，乙考生走得机智！但如此白忙一场，可惜啊！其中有功有过，忙这一场是有功，这是他思维开始趋向成熟的表现，相比那些根本不知道“还可以像这样”来忙一场的解题者来说，乙类考生已经胜了一筹，他毕竟道心坚毅且有章法；只不过白忙了一场算是有过，或者说没有“更进一步”去分析数据才是他之过失。他其实已经离答案不远了，只不过因缺少一些“分析技巧”而显得无可奈何罢了。从这个层面来讲，教师的存在确实是有必要的！教师需再对“乙类考生”的思维作引导确实不是一件可有可无的事情。现在让我们把数据凑拢一堆：我们仔细审视也难以发现什么
12、规律，但可以适当“微调”上述结果：把数据微调一下：如此微调就出现了一个契机，规律在哪儿？分子都是，但分母与取值的联系实属难以观察。如果考生已接受过“函数思想”的教育，那么让他凭借“待定系数法”去“观想、轮换、验证”分母与之间的函数关系，这就不失为寻得了一丝可以渗入内里的隙缝，当然此路之艰辛也可想而知。在列表（一）中，辅助题答案的分子、分母皆在变化，我们可以通过微调手段，先让这二者中只有一者处于变化状态。这正如物理学研究中的那种惯常的手法，为了搞清一种尚不明晰的函数关系，假设我们已经弄清这个关系与某个物理量有关，但因在探究过程中这个物理量的取值都处于变化状态，便让人更难以捉摸这个“复杂”的函数关
13、系。这时我们可以先控制住其中的“-1”个物理量，让它们乖乖地维持不变状态，再任由“第个”物理量自由变化，那么这个复杂的函数关系便会逐渐明朗起来，以至最后它会成为我们探索其它领域的“星舰”，列表（二）便是在这样的“念头”下应运而生的。从另一方面来说，任何人都可以认真去回味，在乙考生“通分”探索的过程中，有一“结构”始终交织在运算数据中，这种结构就是：，其中的取值当然在变，但这种“结构关系”却是定格不变的，懂得“通项公式”的考生是极容易嗅出其中气味的。现下我们有了一个好念头，至于它是否能帮助我们成就大事，搞一下不就知道了！我们借助微调手段让“乙考生辅助题”中的每一个分母都定格为“”形式，那么列表（
14、三）便出现在我们的视野之中：控制变元之后的数据：列表（3）中，分母的规律当然是：，分子的规律明显了吗？如果仍觉不太明显，那么我们改变分子的形式，继续给出列表（4）：从列表（4）可以归纳出，当时，其中的分子辅助题最终结果 经历了如此坎坷的心路历程，我们终于可以帮助乙考生完成他的解答：问题（二）：求的值解：申述3：假设教师在引导丙类考生解决 “问题（一）”时，同样经历了火热而细腻的“归纳”过程，并且学生也“准确地记住”了这个冰冷而美丽的数学结论：以上假设决定了，丙考生不会去犯“甲类考生”的错误，但他们在毫无办法的情况下，非常容易去步“乙类考生之高运算、高技巧”的后尘。此时我们再假设丙类考生比较明智
15、地放弃了乙考生的思路，不愿去归纳如下结论：那么在教师和丙同学之间可以有一场“理想化”对话：问题（二）：求的值师：这道题可以直接用“结论（一）”来处理，对吧？生：不对！好像不可以！师：咦！怎么会不可以呢？生：在结论（一）这个“旧模式”中，分母的起点是“”，但在问题（二）这个“新环境”中，分母的起点却是“”，所以不能直接用来解决此题！师：那，你说怎样去处理呢？生：呃步乙同学的后尘！从特殊去归纳一般吧！师：呃别耍无赖！我们不是早说好的不行乙同学的无奈之举吗？生：那我不知道咋办了！师：你记得结论（一）吗？生：记得！师：我再问，你确定你准确地记得结论（一）吗？生：（笑了），我再答，我确定我准确地记得！师：看看这道题，你会做吗？助探题（）：求的值.生：（一晃眼，便回答），我当然会做，闭上眼睛也会！ 这个题与记忆中的结论（一）相比，没有本质上的区别！师：也就是说，此妖难逃尊驾法眼？生：嘿嘿！尊驾，过奖了！师：看看这道题，你会做吗？助探题（）：求的值.
