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1、? ? ? ? ? 算子的运算规则 、? ? ? ? 算子的运算规则 全 达人 ? 算子是爱尔兰数学家兼天文学家? ? ? ? ? ? ? ? ?建议采用的 , 所以也叫? ? ? ? ? ? 算子 。 利用它可简化运算过程并使算式书写形 式简 练 , 因此在 水利工程的技术计算和理论研 究中经常用 到 。 但由于?是 一个矢性微分算子 , 具有矢量 和微分 的双重性质 , 所以乍用起 来 , 多不习惯 , 在运算时常感困难 。 因此 , 分析?算子的运算特点 , 总结其运算规律就成 为掌握?算子这个数学工具 , 提高工程计算能力的重要 一环 。 本 文首先介绍?算子的运算 规则 及其注意点
2、, 并通过典型算例说明运算规 则的使用方法 , 以期对水利科技工作者掌握 ? 算子这一 工程数学工具有所帮助 。 由于笔者水平所限 , 文中不 妥之处 , 、占 读 者批评 指正 。 一 、 军算子的运算规则 ? ? ? ? 算子在直角坐标系中的表达式为 ? ? 一净 夕 价 口 户 夕 ?三? , 万 一 十 ? 、万 了 一 ? ,王 ? 式中? 、 ? 、 ?分别为沿 ? 轴 、 ? 轴和 乙 轴正向的单位矢量 。 记号?读 作 “纳普拉 ? ? ? ? ” 或 “台尔 ? ? ? ” , 本身并无意义 , 而是 一个微 分运算符号 , 但同时 又要当作矢量看待 , 其运算规则是 ? ?
3、 ? 一?夕 价 夕 一户 ? “? 戈 一万 十 一万一 ” ? 式中 ? 为数性函数 。 丝 沙? 十一 ? 十 夕?井 ? 一器 了 川 ? 丈 ? ?了 一六? 了 。? 二 。? , 丁 十十 口人剖? 一 异 一 ? 了 一 几 一 ? ? 凡 犷 ? ? 了 ? ? 夕? ? 夕? ? , 本义在写作过程中曾得到找院基础课 部叶举梅和土以禹 艺师的热情帮助 ? 笔者在此表示感谢 ? 宁 夏 农学 院 学报 式中?为矢性函数 , ? ?、 ? ?、 ? ? 为?在 ? 轴 、 ?轴 、 ? ? ? 轴上的投影 。 分 ? ? 一 气 人 ?卜 ? ? ? ? 朴 ? ? 人 凡 ?
4、 ?告 一 令?了 ? ? ?鑫 一 夕? ? ?了 ? ?会 一 音 一 ?寸 ? ? 因此 , ? ? ? ? ? 场论中的梯度 、 散度和旋度可用?算子表示为 ? “ ? ? , ? ? 二 ? ? , ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? ? ? 算子八 二 夕? 夕? ? 口? 夕? 可以用?算子表 示为 ? 十 尹 一叮 ? 二? ? ? ? ? 在利用 ?一? 双重性质 。 ?二? 列三种 ? ? 算子运算时应当注意下列 几点 ? 算子?的定义表明?是一个矢性微分算子, 因此它在计算中具有矢性和微分的 算子的运算规则表明 , ? 作用在一个数性函数或矢性函数上时 , 其方式只有
5、下 一一卜 一争 ? ? 、 ? ? 、 ? ? ? 。 即在 “ ? ” 之后必为数性函数 , 在 “ ? ” 与 “ ? ? ” 之后必为 矢性函数, 其他的 , 如 ? 、 ? ? ? 、 ? ? 等 均无意义 。 ?三?为了在 某些公式 中使用方便 , 我们定 义如 下形式的算子 , 即 协 ? ? 一? ? 户峥、 ? 峥 , 一 夕 ? 夕 、 ? ? 气? ? 一卜 抵 ? 十 气 “ 夕 戈 、 二十 ?万于 一 十“一 ? , ?王 ? 夕 二 ? 二 公 ? ?一舜十? 昊 ? 要牢记 ? ? ?今 ? ? 。 ? ? 为一 微分运算符 号 , 而 ? ? 为一标量 。 ?
6、四 ? 算子是线性的 , 也 就是把它用 在一个线性组合上 , 仍 然得出 相仿的线性组合 。 即 当? 时 , 则 、 ? ? 一 ? 。为 常数 , ? ? 、 ? ? ? ? 为数 性函数 , ? 、 ? 。 为矢性函数 ? ? ? ? ? 算子的运算规则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二 ? ? ? ?一 ?一卜 ?一卜 ? ? , ? , ? ? ? ? ? , ? ? “? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? 了? ? ? ? ? ? ? ? ? 少 一 凡 分 戊 ? 又 ? 卫 人
7、 , ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? ?五? 算子在其微分性质中 , 服从乘积 的微分法则 。 即如果把?用在乘积 上 ?乘积 灼 因子可以是数性函数或矢性函数? 乘法可以是普通的乘 、 数量积 或矢量积 , 只 要乘 出来 有意义? , 共结呆等于在每一因子 上各作用一次然后再求总和 。 即 、 ?、 ? 、 ? 孑? 山 ?丫 ? ? ? ? 、 杏咨杏 ? ? ? 二 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 咨杏 ? ? ? ? 二 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二、? 义 ?又? ? ? ? ?
8、 夕 ? ? ? ? ? ?幻少 然后把所得乘积 按照矢量代数规则进行变换 , 使得?算子后面只有一个配上了记号杏的因 子, 计算之后这个记号就可以不写了 。 公式? ? ?中 ? ? 杏表示?用在指定的因子上, ? 、 ? 、 ? 为点函数?数性函数或矢性函数? , ? ?表 示乘积?普通 的乘 、 数性积或矢性积 , 只要乘出来有意义? 。 利用?算子 的这一性质 , 可简化运算过程 。 ?六?在V算子的运算中 , 经常用到三个矢量的混合积公式 。 - 一 , ) 翻一) -) - ) . 争 一卜 a ( b 火 C = C ( a 又 b ) = b 和二重矢量积公式 Xa ( 9 )
9、 x (b xe ) = ( a e ) b 一 -争 洲卜 a b 这 些公式都有几种写法 , 例 如 (10 ) 式中等号右端第一项( e (10) 一 一卜喊卜 一 , a e ) b , 还可写为( e. 了)寸 , 言(了 .矛 ) , 百(万 . 了)等 。 因此 , 在应 用这样公式时 , 就要利用它的这个特 点 , 设 法将其 中 的常天移到V的前面 , 而使变矢 留在V的后 面 。 (七 ) 虽然V具有矢量的形式 和性质 , 但它毕 竞不 是一个单 纯的矢量 , 在 运算过程 中 , 不要 随便 把它 当作一个矢址米处 理;否则就会导致错误 。 因此 , 在使用V算子 时要十
10、 心 细心 。 应当指出:尽管在不同的坐标系中 , V 算子有不同的表达式;但V算子运算规则却与 夏夏 农学院学 报 坐标系 无关 。 在正交曲线坐标系中 , V 算子 的表达式为 : 33 _ 分 1 夕 峥 王 V 二e l不禹产一 丁二丁一十e , 几 , 一 王 11 沙城i 一 rl 。可万+“ s 1 K 3 一 夕 夕叼 (1 1) 式中: q , q : q 3 为曲线坐标 ; 育 , 、 育2 、 了 3 为坐标 曲线 q , 、 q : 、 q : 上 的扔线单位矢量 , 其 正向分 别指向q , 、 q : 、 q 。增加的一侧; 其 问的相 互位置关系除 彼此正 交外
11、, 还构成 右 手坐 标系 。 H ;、 H Z 、 H 3 为L ame系数, 其 表达式为 H j二 了 (萄) “ + ( 一 子 言 i ) “十 ( 会) “ “ 二 , 2 , 3 )( 12 ) 二 、 守算子运算举例 下面我们通过证明V算子在一 些物理 场中较常用的恒等式和推导 正交曲线 坐标系中梯 度 、 散度 、 旋度以及调 和量的表 达式米详细说 明使用V算子 的计算方法 。 例1 。 证明V( eu ) 二C V u ( C 为常数) 、, 一 , 、 / 份 夕 宁 夕 产 夕 、 址 V 咬 “ 火 飞咬 + J 一乡 了+ “ J 与云 一 夕 “ ( 13 )
12、口 U = C 口 X 下) 夕 u 户 + 万了 J + c 奋艺 e sk = / 夕u 寸 夕u 价 夕 u 份、 c 气 一百 牙 十 一, 犷 + 万百 k 夕 ( 夕 份 刁 份 夕 、 万 + J 一奋 y 一 十胶 -,厄.夕” 二C V 例2 。 证明V . ( cA )= 。 V , A( C 为常数) (14) 一.知 一 证: V . (eA )=( i 一百 贾 一 + 万卜 刁 、 十化 - 一 . 。 夕Z / -卜 一 卜 c (A 二 i + A , j + A : k) 夕1 下v 一夕 J ( 一卜 夕 户 夕 一辛 夕 i 一 万 一 + J 一 万 一
13、 十 k 一 寿 ) i + e A , 了 +c A了 ) , A , 一一一二一 十 “ 乞 、 刁Z / y J 口 夕 一 C + 夕A 二 夕 A 二 十C 夕 Z ( + J 口 、 夕 、 J/ 二 一 + k 一 汤 。 任 夕J沙Z / + A , 十A : k ) 人 . 刀 令 A =C一 夕X 二 ( i “c V . 例3.证明V x (eA ) “e V X A( e为 常数) (15) 息4H am i l t 。 n 算子的运算规则 tk ; 一 “人 t j ? 一 灯 t ;一 。凡 二C 卜 |一 Z叭一 . k夕 一 职 A 竹 l , 含 z 止 一
14、C 一 y 月 。 p四 . AJ扣. 一口J J 一 C 了 . 争 证: V x (eA) 主 分X e A x = e V X 例4 。证 明V( u 士 ” ) = - 卜 A 。 V u 土 V ” (1 6) 证. v(土 一 (了 二 刁X 分 口 份 夕 、 十 J 蔺厂 十k 一瓦矛夕 恤 土”少 = (器了 + 带了 +器 弓 士 (登 二 ( 了 青 +了 命 + 了 金) * ( 了 ,州扣 1 + 夕 ” 寸 夕” 户、 万歹J 十 万了 胶 夕 日 分 , 份 口 、 万了+Js e蔽刃+ k万牙 夕 ” = V u 士V ” 。 例5 。证 明V 。 ( A土 B
15、)二V , -刁卜 A 士V(17) 居 证: V ( A 士B ) 二 ( 一书卜 夕 价 夕 份 ; 一一十 1 +k 二 Jx 一 日y 一 J z / 一争 (A 二 士B x) i + (A , 土B y) j 、.J T k + (A , 士 B :) 二 (会 * 会)+ 夕B 。 、 士 I 口y / 夕A , , 万二, 土了 日也 、 夕y / 夕A , . 夕B . 、 十 气 万厄 一土 ,万 玄 - / 夕A l 十 夕 X 、 ,/ tk 主 JX 令 十 瓷) 士 (会 + 会 十 会) + 了 命 + 了金) ( A 了*A 7了 +A: 夕 户 口 份 ; 、 / 。 万 + J 马丁 e s+ “一不 于少 气乌 -枷 一争 i + B , j ) 二 V .争 争 例6 。证 明V x (A 土 B ) A 土V 一B 一知 二 V X A士 V x (1 8) 冲 J夕 了 证: V x (A 土B ) = 主 子 X A 二 士B 二 夕y A , 士B ; 一) k 夕 夕 Z A : 士 B , 弱 宁夏农学 院 学报 冲k -.) 了了 +一 爷
