小学数学工程问题.doc

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1、工程问题问题分析工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。联系实际，让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。充分发挥学生的主体地位，锻炼学生已有的知识解决合作问题。在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间。在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用

2、题，我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到：所需时间=工作量工作效率=6（天）。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可以把工作量多设份额，还是上题，10与15的最小公倍数是30，设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份，两人合作所需天数是：30（3+ 2）= 6（天），整数计算就方便些。或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”，甲、乙工作效

3、率的比是1510=32，当知道了两者工作效率之比。【知识点】工程问题是分析工作效率、工作时间和工作总量之间关系，一般是利用学过的分数知识解决问题。在工程问题中，一般没有明确给出工作总量，解题时常常把工作总量看成单位“1”。在单位时间内完成的工作量称为工作效率，工作效率一般是工作总量的几分之几。工程问题基本数量关系式：（1）一般公式：工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间工作总量 工作时间工作效率（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般给出工作时间，就可以知道工作效率为,1单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出工

4、作效率是，就可以知道工作时间为a.【例题讲解】两个人的问题例1 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几？（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？（3）两队合做几天完成？解：（1） （2） （3）答：（1）两队合做5天可以完成工程的。（2）两队合做6天，还剩下工程的。（3）两队合做8天完成。【解析】此题是工作效率问题。A用20天完成，总工程是“1 ”，所以甲队的工作效率是，乙对的工作效率是。问题（1）要求完成的工程量，用工作效率工作时间；问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量；问题（3）要求完成时间，用总工程

5、量“ 1”总工效。例2一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 解：（1）（2） 答：乙需要做1天可以完成全部工作。【解析】要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。总工程是“1 ”，就可以知道：甲的工作效率是，乙对的工作效率是。求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作总量：工作效率工作时间工作总量 ，剩下：乙完成剩下的工作时间：利用工作总量工作效率工作时间

6、例3一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成，如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解法一：解： （天） （天） 答：工作由甲或乙单独完成，甲需要75天，乙需要50天。【解析】此题是求工作时间问题，工作时间=工作总量工作效率。工作总量是“1”，因此就转换需要求出甲和乙完成这件工作的工作效率。甲、乙的总工作效率： 甲、乙6天的工作总量：乙40天的工作总量：，可以求得乙的工作效率：甲的工作效率：解法二： 提示：甲做24天，乙做16天。例4. 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天可以完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做

7、42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天由此，可知甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），得出相同的工作量，甲的工作时间乙的工作时间=1520=34。甲先单独做42天，比63天少做了：63-42=21（天），相当于乙要做28天，因此，乙还要做：28+28= 56 （天）。答：乙还需要做 56天. 例5. 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成，现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。问从开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，

8、共完成工作量，余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是：（182）()=1（天）。总共需要：2+8+ 1= 11（天），答：从开始到完工共用了11天，解二：设全部工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作：（30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）解三：甲队做1天相当于乙队做3天。在甲队单独做 8天后，还余下（甲队）10-8= 2（天）工作量，相当于乙队要做23=6（天），乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量。乙队4天的工作量由甲、队一起做，其中乙队3天工作量可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天。例6. 一

9、项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，

10、只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. 例7 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两

11、项工作都完成最少需要12天. 例8 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 例9甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 解：乙6小时单独工作

12、完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化。二、多人的工程问题 例10. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成？ 解： （天） （天） （天）答：独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。【解析】此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关系

13、。例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要12天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者甲多做1天，问这项工程由甲独做需要多少天？解：12+12122=42（天） 42=21（天）答:这项工程甲单独做需要21天。【解析】题中说“如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲多做1天”，就是说丙2天的工作量，乙需要4天做，或者甲只需1天，那么丙的工效就是乙的2倍，丙的工效是甲的。乙12天的工作量丙需要6天，甲12天的工作量丙需要24天。所以这件工程丙需要12624=42天。甲需要的时间是丙时间的一半：21天，例12. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，

14、然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 说明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 例13 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. 例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组